具有临界指数的Schrodinger-Poisson系统的解

Schrodinger-Poisson system with critical exponent is studied by using variational method and some famous results of partial differential equation. As the main model, the existence and multiplicity of solutions to Schrodinger- Poisson system will be obtained. Solutions to nonlinear partial differential equations have been the attentioned problems since compactness is the key. Recent years, nonlinear partial differential equations were widespread concerned. These equations are mathematical models of physics, ecology and economics, etc. They have profound applied background. Solutions to nonlinear partial differential equations with critical exponent have been the attentioned problem since lacking compcat imbedding. Schrodinger- Poisson system is a typical model of nonlinear equations. Schrodinger-Poisson system describes the interaction between a charge particle interacting with the electro- magnetic field in quantum electrodynamics, and also in semiconductor theory, in nonlinear optics and in plasma physics. Hence, the study of this project will advance the development of differential equation and physics.

本项目主要以Schrodinger-Poisson系统为研究对象，在临界增长的情况下，利用变分方法和偏微分方程中的一些著名的结果，研究Schrodinger-Poisson系统解的存在性与多解性，得到一些较好的结果。 近年来，非线性偏微分方程解的研究受到了广泛关注，这些方程是物理学、生态学、经济学等诸多领域中一些问题的数学模型，有着丰富的应用背景。因为缺乏一定的紧嵌入，临界增长的偏微分方程是目前较难解决的问题之一。Schrodinger-Poisson系统是偏微分方程中的一类典型模型。它在量子电动力学中，描述电磁场中带电粒子之间的相互作用，在半导体理论、在非线性光学以及等离子体物理学中，都有着深刻的背景。因此，本项目的研究对微分方程和物理学的发展都有着促进作用。

本项目主要以Schrodinger-Poisson系统为研究对象，利用变分方 法和偏微分方程中的一些著名的结果，得到一些较好的解的存在性结果。临界增长的偏微分方程是目前较难解决的问题之一。Schrodinger-Poisson系统是偏微分方程中的一类来源于量子电动力学中的典型模型。本项目研究了具有临界增长的非局部项的Schrodinger-poisson系统的正解的存在性与多解性，在非局部项临界增长，非线性项不满足AR条件时，得到了正参数和负参数下的存在性结果，这些结果不同于经典的次临界增长的Schrodinger-Poisson系统。另外还考虑了非线性项具有齐次性时的非局部项临界增长的Schrodinger-Poisson系统，得到完全不同于经典次临界非局部项的Schrodinger-Ppoisson系统的结果，这部分内容已经投稿。利用变分方法得到变系数的Schrödinger-Poisson系统的解的存在性、唯一性及多解性。也得到具有类似的非局部项的方程—Kirchhoff方程的解的存在性。再结合非局部项的特点，得到同时具有两种非局部项的系统的变号解和无穷多解的存在性。另外，我们还考虑了其他一些方程的解。这些成果推进了对具有非局部项的问题的研究。