泊松流形哈密顿微分同胚群上Hofer型度量相关问题研究

Bi-invariant metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms is an important bridge between symplectic topology, Poisson topology and Hamiltonian systems, it plays an important role in the researching of related topics of symplectic geometry, Poisson geometry and Hamiltonian systems. This metric has been widely studied in symplectic geometry, but there are many difficulties and few results in Poisson geometry. The main purpose of this proposal is to study the bi-invariant metric and related problems on the group of Hamiltonian diffeomorphisms on Poisson manifold. We first study the uniqueness of the bi-invariant metric by investigating the geometric structure of Poisson manifolds and estimating the norm of Hamiltonian functions. And then we establish the energy-capacity inequality in the Poisson case, and discuss the rigidity theories of Hamiltonian diffeomorphisms, we also prove the uniqueness of generating Hamiltonian for continuous limits of Hamiltonian flows and define an extended Hofer metric on the Hamiltonian homeomorphisms. At last we study the Muller type conjecture in Poisson case, prove it holds for some Hamiltonian diffeomorphisms and get some conditions to determine geodesics. Through the research of the Hofer geometry on Hamiltonian diffeomorphisms on the Poisson manifold, we hope can further promote the development of related subjects of Poisson geometry and Poisson dynamical systems.

哈密顿微分同胚群上的双不变度量是联系辛拓扑、泊松拓扑和哈密顿系统的重要桥梁，对辛几何、泊松几何与哈密顿系统相关问题研究具有重要意义。辛流形上的Hofer型双不变度量已被广泛研究，但泊松流形上的相关研究困难较多，结果较少，本课题主要研究泊松流形上的Hofer 型度量及其相关问题。我们首先利用泊松流形的几何结构和哈密顿函数估计，来研究泊松流形哈密顿微分同胚群上的Hofer 型度量的唯一性，并给出该度量与连续性度量的关系；然后建立泊松情形下的能量不等式，讨论泊松情形下的刚性定理和生成函数在哈密顿流连续极限下的唯一性，构造一个哈密顿同态群上的广义Hofer 型度量；最后讨论泊松情形下的Muller猜想，证明该猜想对部分哈密顿微分同胚成立，并给出哈密顿同胚群上测地线的一些判定条件。本课题通过泊松流形哈密顿同胚群上Hofer几何相关问题研究，进一步推动泊松几何和泊松动力系统领域中相关课题的发展。

哈密顿微分同胚群在辛几何和泊松几何研究中具有重要的作用，其双不变度量是联系辛拓扑、泊松拓扑和哈密顿系统的重要桥梁。辛流形哈密顿微分同胚群上的双不变度量已经被广泛研究，但泊松流形上的结果较少。本项目主要研究泊松流形哈密顿微分同胚群上的Hofer型双不变度量及其相关问题。首先我们证明了一类泊松流形哈密顿同胚群上的Hofer型度量小于连续度量；给出了Hofer型双不变度量的唯一性结果，证明了若一个哈密顿不变的拟范数在光滑拓扑下是连续的，如果该拟范数是小于等于Hofer度量定义里的震荡范数，并且该拟范数生成的拟度量在哈密顿微分同胚群上不等价于Hofer度量，则其生成的拟度量一定恒等于零。其次我们给出了泊松流形上泊松容量的构造，证明了在标准泊松空间上构造的泊松容量是有限的，并利用泊松容量给出了一类同胚的刚性定理。在标准泊松流形上，证明了泊松容量能量不等式成立，即对泊松流形上的有界开集和一个哈密顿微分同胚，若哈密顿微分同胚作用在该有界开集后与该开集不相交，则该哈密顿同胚的泊松能量大于等于该有界开集的泊松容量。我们在泊松情形下证明了Muller猜想在一定条件下成立，分析了一族特殊的哈密顿微分同胚，证明了一类泊松哈密顿同胚的广义Hofer范数和经典的Hofer范数是一致的。最后我们给出了一些泊松流形哈密顿微分同胚群上的测地线判别条件，在一定条件下证明了标准泊松流形上自治的哈密顿函数极限对应的哈密顿同态道路是测地线，满足容许的并且有孤立极点的哈密顿函数极限对应的哈密顿同态道路是测地线。. 泊松流形上Hofer型度量有关问题研究涉及辛几何、泊松几何、群胚理论等诸多领域，将为泊松几何和泊松动力系统研究提供一个新的有力工具。通过该课题的研究，我们将Hofer几何推广到泊松情形，进一步推动了泊松动力系统领域相关课题的发展。