几类平面微分系统的周期解及其稳定性

The study of the existence and stability of periodic solutions of planar differential systems is an important research topic in the fields of differential equations and dynamic systems. The aim of this project is to systematically study the existence and Lyapunov stability of periodic solutions for several types of nonlinear planar differential systems by using the qualitative and stability theory of differential equations and nonlinear analysis methods. We will focus on the following three problems: 1. We will establish the existence and multiplicity results of periodic solutions for planar differential systems with singularities on both the axes using the generalized version of Poincaré-Birkhoff theorem and Poincaré-Bohl theorem. 2. The relationship between the stability of periodic orbits and angular momentum of Keplerian-like systems will be explored by combining the topological degree theory and the method of upper and lower solutions with the third order approximation method. 3. Based on the transversality theory and the stability theory of differential equations, we will try to find a sufficient condition for the prevalence of stable periodic solutions of a predator-prey system. This research will help to enrich the qualitative theory and stability theory of differential equations, and has a high theoretical value and broad application prospects.

平面微分系统周期解的存在性和稳定性研究是微分方程和动力系统领域的一个重要研究课题。本项目旨在综合运用微分方程定性与稳定性理论及相关非线性分析方法系统地研究几类非线性平面微分系统周期解的存在性及其在李雅普诺夫意义下的稳定性。重点关注下列三方面的研究内容：1.运用推广形式的Poincaré-Birkhoff定理、Poincaré-Bohl定理等研究具有双轴奇异的平面微分系统周期解的存在性和多重性；2.结合拓扑度理论、上下解方法、三阶近似方法等探讨开普勒型系统周期轨道的稳定性与角动量之间的关系；3.基于横截性定理等相关通有性理论以及微分方程稳定性理论构建捕食者-食饵系统稳定周期解通有性成立的充分条件。本项目的研究将有助于进一步丰富微分方程定性理论与稳定性理论，具有较高的理论价值和广泛的应用前景。

微分系统周期解的存在性和稳定性研究是微分方程和动力系统领域的一个重要研究课题。该项目主要综合运用微分方程定性理论与稳定性理论及相关非线性分析方法系统深入地研究了几类非线性微分系统周期解、次调和解的存在性、多重性和李雅普诺夫意义下的稳定性。截至目前，主要针对如下三方面的科学问题进行了深入地研究，并且得到了一系列的研究成果：(1) 根据三阶近似方法、上下解方法以及平均方法等理论，研究了开普勒型系统（平面微分系统）、一类光滑—不连续振子（SD振子）系统和描述光纤中的色散管理孤子动力学行为的奇异平面微分系统周期解的存在性及其在李雅普诺夫意义下的稳定性； (2) 利用临界点理论和拓扑度理论，建立具有奇异点的Rayleigh型方程和具有强迫项的阻尼摆方程周期解、次调和解的存在性和多重性的充分条件；(3)应用Mawhin连续定理和Leggett-Williams不动点定理，得到了Minkowski曲率方程周期边值问题和k-Hessian方程Dirichlet边值问题解的存在性结果。 这三方面的问题均是项目申请书中所拟定研究问题中的部分问题及其衍生出的相关问题。 本项目所得的部分研究成果是已有文献中相关结论的改进和推广，也有部分结果是原创的。 通过上述问题的研究，针对非线性微分系统初步形成有一定特色的研究思路和体系。该项目的结论有助于进一步丰富与发展微分动力系统定性与稳定性理论。