几类不连续微分系统的周期解及其应用的研究

In this project, based on Filippov theory, averaging theory, the theory of impulsive differential systems and our existing research results, we investigate the periodic solutions and its applications for several kinds of discontinuous differential systems, and combine with computer simulations to provide information and verify the theoretical research. The detailed research contents as follows: by Poincare mapping method, geometrical analysis techniques and variable transformation, we investigate the existence, uniqueness, stability, number and relative position of limit cycles for discontinuous nonlinear dynamical systems (with discontinuous right-hand sides), then we further consider some applications of theoretical results to the existing models in physics, chemistry and biology. By giving Melnikov theory for studied planar piecewise smooth perturbed systems with state impulses, we investigate the existence of (discontinuous) periodic solutions of the system with state impulses. By exploring the applications of Poincare-Birkhoff twist theorem and its methods to impulsive Duffing systems, we investigate the preservation of periodic solutions under impulsive perturbations, and we establish several criteria concerning the existence and multiplicity of periodic solutions, harmonic solutions and sub-harmonic solutions of the system. The project is a exploratory subject, and it belongs to the further progress of qualitative theory of discontinuous differential systems.

本项目以申报者的前期工作为基础，基于Filippov理论、平均理论以及脉冲微分系统理论等对几类不连续微分系统的周期解及其应用进行研究，并结合计算机仿真对理论研究提供信息或进行验证。内容包括：利用Poincare映射方法、几何分析技巧、变量变换等方法研究(右端)不连续非线性动力系统(crossing/sliding)极限环的存在性、唯一性、稳定性、个数以及极限环的相对位置，并探讨理论成果在物理学、化学、生态学领域现有模型上的应用；给出适用于依赖状态脉冲的平面分片光滑扰动系统的Melnikov理论，研究(不连续)周期解的存在性；探讨Poincare-Birkhoff扭转定理及其方法在脉冲Duffing系统上的应用，研究脉冲扰动下周期解的保存性，建立周期解、调和解与次调和解的存在性与多解性判据。本课题属于不连续微分系统定性理论研究的进一步工作，是一个探索性的研究课题。

本报告研究了几类不连续（向量场不连续和脉冲扰动）微分方程的定性性质及其在物理学和生物学模型上的应用. 主要内容包括.（1）（向量场）不连续Duffing 方程的周期解问题.运用Poincare-Bohl 不动点定理研究了一类具有一条不连续线的非线性阻尼Duffing 方程，得到了crossing 调和解和crossing次调和解的存在性和唯一性；运用推广的Poincare-Birkhoff 扭转定理研究了一类具周期强迫的不连续Duffing 方程的周期解的多解性，即不连续Duffing方程具有无穷多个任意大振幅的周期解。 .（2）（向量场）不连续非线性Lienard（型）系统的crossing极限环的定性分析.首先，运用Poincare 映射方法和几何分析技巧研究了两类不连续非线性Lienard （型）系统的crossing 极限环的存在性、唯一性和稳定性。其次，通过分析不连续系统的解轨线的性质得到唯一极限环的振幅的明确上界进而确定其在整个平面上的相对位置。最后，分别应用到具有不连续向量场的Van der Pol方程和非单调功能反应的Predator-Prey模型，以及结合MATLAB模拟验证理论结果与计算机分析一致。 .（3）（向量场）不连续Lienard 多项式微分系统的极限环的个数.运用变量变换和不连续微分方程的二阶平均定理研究了两类不连续广义Lienard 多项式扰动微分系统的极限环的个数，得到了几个关于极限环最大个数的lower upper bounds准则。说明不连续微分方程的二阶平均定理相较于一阶能得到更多的极限环。最后，举例验证极限环的个数可以取到。 .（4） 脉冲微分方程的周期解与渐近行为.运用Poincare-Bohl不动点定理研究了一类二阶脉冲微分方程的周期解的存在性，在线性增长的条件下得到几个（不连续）周期解的存在性准则；通过构造辅助函数，分别考虑方程的振动解和非振动解的渐近性质技巧，建立几个充分条件得到了一类具强迫项和正负系数的欧拉型脉冲中立型时滞微分方程的解的渐近行为。