典型群与量子群的不变量理论及其应用

This project is based on the two fundamental theorems of the invariant theory for the classical and quantum groups. We mainly study the representation theory of various algebras related to the invariant theory. Especially, the structures of Brauer algebras and Birman-Murakami-Wenzl algebras are studied in the symplectic and orthogonal cases. It is well-known that the annihilator of symplectic quantized tensor space in Birman-Murakami-Wenzl algebra with special parameters is the principal ideal generated by some anti-symmetrizer. We hence conjecture that, in the orthogonal case, the annihilator of quantized tensor space in the Birman-Murakami-Wenzl algebra with special parameters is also a principal ideal generated by some quasi-idempotent. This is the core objective of this project. Furthermore, we will try to understand the structures of Brauer algebras and Birman-Murakami-Wenzl algebras using the corresponding invariant theory. For example, the Jacobson radicals, blocks and decomposition numbers etc are studied.

本项目围绕典型群与量子群不变量理论的两个基本定理展开，主要研究与不变量理论有关的各种代数的表示理论，特别是与辛型和正交型量子不变量理论相关的Brauer代数、Birman-Murakami-Wenzl代数的结构理论。我们已经知道辛型量子张量空间在带相应参数的Birman-Murakami-Wenzl代数中的零化子是由某个反对称子生成的主理想，因此猜测：正交型量子张量空间在带相应参数的Birman-Murakami-Wenzl代数中的零化子也是由某个元素生成的主理想。这是本课题的核心研究目标。更进一步，我们将试图运用不变量理论揭示Brauer代数、Birman-Murakami-Wenzl代数的一些结构信息，例如Jacobson根、块、分解数等。

本项目计划研究内容包含两块：一是完善典型群与量子群不变量理论的基本定理；另一块是利用不变量理论研究Brauer代数、BMW代数的表示和结构理论。.针对第一大块研究目标，我们首先研究了一般线性群与rook幺半群之间的Schur-Weyl对偶。在基域特征为零时，我们精确刻画了张量空间在rook幺半群群代数上的零化子是由一个拟幂等元生成的主理想。随后，这一结果被推广到了量子参数是未定元的情形。.其次，我们给出了量子辛群不变量理论基本定理的一个范畴版本。这一成果自包含的给出了量子辛群第二基本定理的一个递归公式，并且精确地描述了量子辛群不变量理论基本定理的线性方式，为量子辛群的范畴化或者说在2-范畴意义下的重构提供了一条可行的途径。.针对第二大块研究目标，我们研究了Brauer代数、BMW代数的根和分解数。特别地，我们证明了Gavarini教授关于Brauer代数的根的一个猜测，即某些理想的根是由属于这个理想的图Pfaffian线性生成的。利用这一结果，我们还解决了辛群关于调和张量的第二基本定理；更进一步，我们也研究了这些结果的量子化情形。在这一部分，我们利用胞腔代数理论讨论了对称群群代数的模表示理论，给出了其Jacobson根的部分信息。