李理论与量子群的表示及其应用的若干方面

Study the structure properties of co-split Lie bialgebras,.Quantize the Cartan type Lie superalgebras over a field of positive characteristic in order to obtain some new finite-dimensional Hopf superalgebras which is significant to the classification of f.d. Hopf superalgebras, and study their irreducible representations, explore the possible applications to the knot invariant theory. Continue to study the two- or multi-parameter quantum (affine) groups or supergroups those we have developed, develop their crystal bases theory. Investigate the BGG theory of representations of restricted quantum groups and their categorifications, pay attention to their block decomposition theory, the decomposition theory of tensor modules, etc, and seek some applications to knots or links invariants. Study the braiding structures about those pointed Hopf algebras of noncommutative group' Hopf subalgebras and classify their irreducibles. Study and explore the Kovanov homology theory of knots and links and their categorifications.Investigate and compute various crossed products of relative braided Hopf algebras, study and explore the quantum differential operators corresponding to the Cartan type q-Lie algebras the applicant defined and their noncommutative geometry.

研究余分裂李双代数结构性质、正特征域上Cartan型系列的限制单李超代数的李超双代数量子化,以获得有限维新的量子超群结构（这对Hopf超代数分类具有意义）、研究其不可约表示、探寻它们到扭结量子不变量的可能的应用；继续研究双(多)参数量子群、量子仿射群以及量子超群的结构新理论，发展其晶体基理论；研究限制型量子群表示的BGG理论与范畴化、Block分解理论、表示的张量积分解理论等，并应用于扭结的新量子不变量的刻画；研究有限维具有非交换群代数的点Hopf代数的辫子结构与单表示分类；探讨扭结的Kovanov同调理论及范畴化；研究与辫子Hopf代数相关的各类交叉积的循环同调以及探寻与Cartan型q-李代数系列相对应的量子微分算子理论和非交换几何理论。

本课题《李理论与量子群的表示及其应用的若干方面》涵盖李代数和量子群的结构与表示论研究，是目前国际上受到相对关注的研究问题和方面，主要研究内容包括：继续完成和发表了Cartan型模李代数的模量子化（H和K型）并得到了特征p域上目前尚未分类清楚的素幂维数的点Hopf代数的构造，这对于素特征域上1975年Kaplansky第10猜想问题的解决有更为明确的方向性指引作用；继续完成和发表了双参数仿射量子群G_2^{(1)}型和C_n^{(1)}型的Drinfeld实现猜想的证明和建立其量子顶点算子表示论的构造，这在国际上是独树一帜的；对双参量子群B型的中心结构的Harish-Chandra刻画等；从Hopf代数结构理论和量子群表示论角度，一举解决了20年前著名量子群专家及非交几何学家Majid提出的经典量子群可从量子sl_2经由一系列适当选择的对偶表示的双重玻色化途径得到的猜想，包含了4篇系列文章（其中2篇已发表）；侧重于3类tame型的Hopf代数的表示环（Green环）结构研究，发现了对有限维Hopf代数分类AS提升方法可以通过Hopf 2-上圈扭实现的看法，促进了相关工作的进展；发现并分类了广义相交矩阵李代数的半正定情形，分类了其有限维单模并得到充要条件；研究了A型李超代数的一类沈氏混合积实现并得到单模（均无限维）结构刻画的充要条件及特征标公式等。本项目4年间共发表21篇论文（20篇为SCI或SCIE, 1篇国际会议论文Contemp Math），培养毕业博士5人【1人获国家优秀博士生奖学金及瑞典Uppsala大学博士后研究基金（3年）支持、青年基金1人、广东省博士后基金1人】，毕业硕士10人。邀请11位外国专家短课程讲学，其中2次举办60余人规模的研究生海外专家暑期学校和研讨会。主持人受邀国际会议主题报告4次，海外学术交流访问5次，国内外邀请学术报告20余次。