Morita系统环上的保持映射及在算子理论中的应用

In this project we main study the preserving mappings over the Morita context rings and their applications in operator theory. The main object is to characterize the Lie isomorphisms and Lie derivatiopns over the Morita context rings. We have known that the Lie isomorphisms of triangular algebras and full matrix algebras of order bigger than 2 are of the standard form. Hence we conjecture that the Lie isomorphisms of Morita context rings are also of the standard form and this is the core objective of this project. Moreover, we will study the properties of commutativity-preserving mappings, Lie derivations and some other mappings which are closely related to Lie theory. Finally, we will apply the algebraic results to operator algebras (including nest algebras, von Neumann algebras) and the theory of automatic continuity in Banach algebras.

本项目主要研究Morita系统环上的保持映射问题，及其在算子理论中的应用，重点刻画Morita系统环上的李同构与李导子的形式和性质。我们已知三角代数和阶数大于2的全矩阵代数上的李同构俱有所谓的标准形式，因此猜想：Morita系统环上的李同构也俱有标准形式；这是本项目的核心研究目标。同时，我们将进一步刻画Morita系统环上的交换保持映射、李导子等与李理论紧密相连的映射的性质。最后，利用所获得的代数结论研究算子代数（包括套代数、von Neumann代数等）的性质以及Banach代数上算子的自动连续性。

本项目主要研究Morita系统环上的保持映射问题，及其在算子理论中的应用，重点刻画Morita系统环上的李同构与李型导子的形式和性质。原课题分为三个子课题：第一、研究Morita系统环上的双线性映射的交换迹是否具有标准形式以及Morita系统环满足的代数恒等式。第二、利用第一步获得的结论研究Morita系统环的李同构和交换保持线性映射，特别是一般（交换）环上的全矩阵代数的李同构。第三、研究Morita系统环上的各种重要的可加映射的性质以及这些性质在其他理论中的应用，特别是李导子、交换保持线性映射、约当导子、高阶导子等。子课题一和子课题二已完成，我们进一步得到了李三角同构的刻画，并形成了一个由三篇论文组成的系列成果，其中两篇论文已完成，另有一篇在写作中。针对子课题三，我们研究了一般代数（特别是算子代数）上的约当高阶导子；并且证明了关联代数上的约当导子就是导子，从而与组合图论联系了起来。