Cluster代数、量子群及其在Donaldson-Thomas不变量中的应用

This project will focus on the two problems. One is the constructions of two parameter quantum groups and their geometric realizations. Another is the categorifications of cluster algebras and their applications.. We shall study the functions spaces valued in C(t) over the flag varieties. By this method, the constructions of quantum groups of type B and type D, Shur-Weyl duals and their geometric realizations are given. On the problem of categorifications of cluster algebras, we shall use two methods to study it. 1. Generalize the method of Nakajima quiver varieties to give categorifications of more general cluster algebras. 2. Study the problem of categorifications of cluster algebras by the tool of Donaldson-Thomas invariants “sheafies” and study the applications of cluster algebras in the calculations of Donaldson-Thomas invariants.

本项目就两个问题展开研究: 1.双参数量子群的构造及其几何实现；2.cluster代数范畴化及其应用。我们讨论flag variety上取值于域C(t)的函数空间，给出B型和D型双参数量子群的构造和几何实现，并给出Shur-Weyl对偶。在cluster代数范畴化方面，我们将Nakajima quiver variety的方法推广，范畴化更一般情形的cluster代数，并以Donaldson-Thomas不变量“层”为工具，给出cluster代数新的范畴化并讨论其在Donaldson-Thomas不变量计算方面的应用。

量子群、cluster 代数和Donaldson-Thomas不变量是数学物理中的重要研究领域，在这个领域，我们取得了如下成果：1. 研究量子cluster超代数的实现并试图寻找其与量子超群表示理论的关系。2. 研究了双参数量子对称对的BLM实现，并通过Galois下降法去统一双参数Schur-Weyl理论；研究量子对称对的K矩阵实现方式，并通过K矩阵实现给出其Schur-Weyl对偶理论的BLM实现。3.研究量子对称对的等变K理论实现，并希望通过这种实现方式给出量子对称对的Drinfeld新实现方式及其表示和典范基的问题。.量子信息和量子计算的研究，是未来重要的科技发展方向，其关系到我们国家的信息安全和军事安全。我们研究了该领域的几个重要的量子关联，给出了一些可以局部区分的量子态、还研究了量子相干性、量子非局域性、真量子纠缠和真量子非局域性等量子信息中的一些重要问题，得到了一些有意义的结果。.该项目发表论文21篇，其中SCI论文19篇，一篇是高被引论文。同时，以《量子理论及其在量子信息的应用》为题，获得了2017 年广东省科学技术奖（自然科学）二等奖。