Turaev辫子群范畴的构造、分类及其应用

Turaev 辫子群范畴是产生新的3维同伦量子场理论和构造新的3维流形不变量的基础，项目对Turaev 辫子群范畴的构造、分类和应用做了以下几方面的研究：(1)用拟Hopf代数和范畴的方法构造更多的Turaev 辫子群范畴的例子；(2)主要考虑循环群、交换群、有限群等特殊群上的交叉群代数的分类问题，进一步建立这些交叉群代数与Turaev 辫子群范畴之间的联系，最后寻找这些Turaev 辫子群范畴成为模交叉群范畴的条件；(3)考虑非辫子Turaev 群范畴的Hopf monad理论，构造非辫子Turaev 群范畴的中心与Hopf monad上的量子偶，建立它们之间的关系并寻找到非辫子Turaev群范畴中的CoendA对象。最后对三类具体的Turaev 辫子群范畴进行计算，找到它们成为模交叉群范畴的条件，并构造出它们相应的Witten 和Reshetikhin-Turaev不变量。

Turaev辫子群范畴是产生新的三维同伦量子场理论和构造新的三维流形不变量的基础。本项目主要对Turaev辫子群范畴的构造、分类和应用做了以下几方面的研究：（1）用拟Hopf代数和范畴的方法构造更多的Turaev辫子群范畴的例子；（2）考虑一些特殊群上的交叉群代数的分类问题，进一步建立这些交叉群代数与Turaev辫子群范畴之间的关系，最后寻找这些Turaev 辫子群范畴成为模交叉群范畴的条件；（3）考虑非辫子Turaev 群范畴的Hopf monad理论，构造非辫子Turaev群范畴的中心与Hopf monad上的量子偶，建立它们之间的关系。最后对三类具体的Turaev 辫子群范畴进行计算，找到它们成为模交叉群范畴的条件。本项目的主要研究成果有：（1）给出了拟Hopf群余代数的定义，证明了拟Hopf群余代数的表示什么时候构成Turaev辫子群范畴并且证明了它的表示范畴什么时候是sovereign、braided和ribbon的；（2）讨论了拟Hopf群余代数上的Yetter-Drinfeld模范畴是否构成Tureav辫子群范畴；（3）我们初步完成了有限循环群上的交叉群代数的分类问题，给出了几类Tureav辫子群范畴构成模交叉群范畴的方法；（4）运用Hopf monad 的方法给出了一般张量范畴上的Doi-Koppinen模与Yetter-Drinfeld模的定义，并且证明了它们之间的关系；（5）基本弄清了Hopf monad上的Yetter-Drinfeld模范畴与自对偶范畴的中心的关系，从而建立了Yetter-Drinfeld模范畴与量子偶的表示范畴之间的关系；（6）我们初步完成了三类具体的Turaev辫子群范畴的计算，积极在寻找它们成为模交叉群范畴的条件；（7）同时我们团队对相关的领域，如余环理论，拟Hopf代数， Koszul代数也开展了积极的研究。自国家基金立项以来，我们团队积极开展科研活动，经过3年的努力，我们团队主要取得了以下成果：（1）作为本项目的后续研究我们申请到了浙江省自然科学基金一项；（2）受本项目资助发表的论文11篇，其中SCI 6篇。