辫子交叉范畴在构造量子不变量中的应用

Braided crossed categories, which are braided monoidal categories in Freyd-Yetter categories of crossed group-sets, can give rise to a 3-dimensional homotopy quantum field theory with target space K(G，1) (where G is a group) and play a key role in the construction of homotopy invariants. Such braided crossed categories mainly come from the representation categories of (co)quasitriangular (weak) Hopf group-coalgebra and (weak) Yetter-Drinfeld categories. Hopf group-coalgebras can induce group-cograded multiplier Hopf algebras and group-cograded multiplier algebraic quantum groups. We mainly discuss how to construct new braided crossed categories, and investigate the applications of braided crossed categories in constructing quantum invariants. Therefore we obtain new braided crossed categories by investigating the representation categories of smash products and Yetter-Drinfeld categories. Furthermore we discuss applications of braided crossed categories in the construction of 3-manifolds quantum invariants.

辫子交叉范畴是Freyd-Yetter交叉群集合范畴中的辫子张量范畴，这类范畴可以产生带有目标空间K(G，1)（G是一个群）的3-维同伦量子域理论，并在构造同伦不变量中有重要的作用。这样的辫子交叉范畴主要来源于（余）拟三角（弱）Hopf群余代数的（余）模表示范畴和（弱）Yetter-Drinfeld范畴，而Hopf群余代数又可以诱导出群余分次乘子Hopf代数和群余分次乘子代数量子群。本项目主要研究如何构造新的辫子交叉范畴以及其在量子不变量中的应用。我们通过研究各类冲积的（余）模表示范畴和（弱）Yetter-Drinfeld范畴，得到新的辫子交叉范畴，进而探讨辫子交叉范畴在构造3-维流形的量子不变量的应用。

辫子交叉范畴是Freyd-Yetter交叉群集合范畴中的辫子张量范畴，这类范畴可以产生带有目标空间K(G, 1)（G是一个群）的3-维同伦量子域理论，并在构造同伦不变量中有重要的作用。这样的辫子交叉范畴主要来源于（余）拟三角（弱）Hopf群余代数的（余）模表示范畴和（弱）Yetter-Drinfeld范畴，而Hopf群余代数又可以诱导出群余分次乘子Hopf代数和群余分次乘子代数量子群。本项目主要研究如何构造新的辫子交叉范畴并讨论其在构造3-维流形的量子不变量及拓扑不变量中的应用。在构造新的辫子交叉范畴方面，我们引入一类弱Yetter-Drinfeld模，得到了一类新的辫子交叉范畴。在从Hom-Hopf代数出发构造新的辫子交叉范畴的过程中，我们不仅研究了拟三角Hopf代数的模范畴中的Hom-Lie代数的中心不变量问题和其Hom-Lie理想结构，同时还讨论了Yetter-Drinfeld模范畴中的Hom-Lie代数的中心不变量问题。