代数的表示、量子群与范畴化

The mian purpose of this project is to study representations of algebras, quantum groups, categorifcation, and their interrelations. We begin with the study of representations of hereditary algebras over finite fields by applying the representation theory of algebras with Frobenius morphisms, and then establish a relation beetween the polynomials obtained by counting indecomposable representations and certain geometric invariants with appliactions in symmetrizable Kac-Moody Lie algebras and the corresponding quantum groups. On the other hand, we will focus on representations of quantum generalized Kac-Moody algebras and describe their Demazure character formulas. Based on the properties of deformed preprojective algebras, we will describe certain indecomposable representations of restricted quantum groups. Furhtermore, a direct relation between two categorifications of quantum groups- - Hall algbera approach and quiver Hecke algebra approach- - will be investigated.We will also make a connection between PBW and monomial bases of Hall algebras and finitely generated graded projective modules over quiver Hecke algebras. The above research is unified under the framework of Hall algebras and will have important applications in the stucture and representation theory of quantum groups.

本项目主要目的是研究代数的表示、量子群、范畴化及其相互联系。首先，利用带有Frobenius映射的代数的表示理论研究有限域上遗传代数的不可分解表示，建立不可分解表示个数的多项式与几何不变量、可对称化 Kac-Moody 李代数和相应量子群的联系。其次，研究量子广义Kac-Moody 代数的表示及刻画 Demazure特征公式。利用预投射代数形变的性质，刻画量子群限制型的某些不可分解表示。另外，研究量子群两种范畴化方法- - Hall 代数方法与quiver Hecke 代数方法- - 的联系，建立Hall 代数的PBW 基与单项式基和quiver Hecke代数有限分次投射模的联系。上述研究统一在 Hall 代数的框架下并将在量子群的结构和表示理论中有重要应用。

本项目主要研究了代数的表示、量子群、范畴化及它们之间的相互联系。特别地，利用Ringel-Hall代数方法研究了相关的李代数与量子群的结构和表示。项目在有限域上遗传代数的表示、投射模循环复形的Hall代数、单李代数与Lusztig对称子的实现，仿射 A型 Hall代数的高权表示与Fock空间，Hall多项式的存在性，量子包络代数的PBW基及其表示的典范基，仿射量子-Schur代数的结构和表示，量子群的形变，广义McKay箭图，A型quiver Hecke代数和范畴化，李超代数的表示等方面得到了一系列成果。这些结果对相关课题的进一步研究有很好的促进作用。