若干类有限几何结构的构造、分类及其应用

Many finite geometric structures are of common research interest in geometry, combinatorics and algebra. These structures also have important applications in coding theory, cryptography and other modern communication theory. In this proposed project, from the point views of finite geometry, combinatorial design theory and coding theory, we plan to apply various mathematics tools, such as association schemes, polynomials over finite fields, group theory, algebraic geometry and algebraic number theory to the analysis and the investigation of several geometric objects in finite projective planes and projective spaces: (1) In several non-classical projective planes, especially in semifield planes, Figueroa planes and shift planes, we will consider the construction and classifications of ovals, hyperovals, maximal arcs and unitals together with their properties. (2) In higher dimensional spaces, we will investigate constant dimensione codes, in particular, the upper bounds, substructures and constructions of various optimal rank metric codes including maximum rank metric codes, as well as their relationship to several geometric structures. (3) We plan to prove or disprove the existence of dimensional dual hyperovals over fields of odd characteristic and the existence of non-splitting dimensional dual hyperovals respectively.

有限几何中的很多几何结构，是几何、组合以及代数学家共同关心和研究的问题。同时，这些结构在编码学、密码学以及其他现代通信理论中，都有着重要的应用。本项目计划通过有限几何、组合设计以及编码理论的研究视角，综合运用结合方案、有限域上的多项式理论、群论、代数几何和代数数论等数学工具，深入分析和研究有限射影平面和有限域上高维向量空间中的若干类几何结构，具体内容包括：(1)某些非经典射影平面上，特别是半域平面，Figueroa平面，位移平面上的椭圆与超椭圆、极大弧、unital的构造、性质及其分类；(2)高维向量空间中的常维数码，特别是包括最大秩距离码在内的各类最优秩距离码的码字上界、子结构、构造及其与几类有限几何结构的关系；(3)研究维数级对偶超椭圆在特征为奇数的有限域上的存在性以及在非分裂条件下的存在性。

有限几何中的很多几何结构，是几何、组合以及代数学家共同关心和研究的问题。同时，这些结构在编码学、密码学以及其他现代通信理论中，都有着重要的应用。本项目通过有限几何、组合设计以及编码理论的研究视角，综合运用结合方案、有限域上的多项式理论、群论、代数几何和代数数论等数学工具，深入分析和研究有限射影平面和有限域上高维向量空间中的若干类几何结构。本项目的重要研究成果主要集中在 (1)秩距离码的等价性问题，完全确定了广义扭Gabidulin码与经典的Gabidulin码这两类MRD码的等价性及自同构群；(2)给出了极大线性集和具有极大核的秩距离码的渐进型分类；(3)构造新的方阵型秩距离码，并给出非方阵型秩距离码的总数指数下界；(4)半径为2的Lee球能够格覆盖n维实空间当且仅当n=1,2, 进而部分解决了Golomb-Welch猜想；(5)对于一类与密码学中的几乎完全非线性函数等价的维数对偶超椭圆，证明其总数至少与维数成指数增长关系。受项目资助期间，在国际期刊上发表学术论文14篇，其中含组合学顶刊 《Journal of Combinatorial Theory, Series a》 5篇。应邀参加国际重要学术会议并做特邀报告或大会报告4次，全国组合数学与图论年会大会报告1次。