复形范畴中的模型结构和相对上同调理论

The main object of this project is to study the model structure and relative cohomology theory in the category of complexes. Based on a cotorsion theory in R-Mod with some additional conditions, we will study Gillespie conjecture, that is, to obtain a model structure and complete cotorsion theories in the category of complexes, and give some characterizations of A-dimensions and B-dimensions via Ext functor by using of model structure theory. We also will consider the finiteness of A-dimensions and B-dimensions of complexes by relative Auslander classes and relative Bass classes, and consider the relationships of the relative dimension of a complex and the relative dimension of each term of the complex. More homological properties of complexes will follow from our results by choosing of cotorsion theory (A, B). Absolute cohomology groups, relative cohomology groups and Tate cohomology groups of complexes will be considered and Avramov and Martsinkovsky's exact sequence will be established which will explore the connection of absolute, relative and Tate cohomology groups. As an application, relative Bass numbers, Tate Bass numbers, relative Betti numbers and Tate Betti numbers of complexes will be considered. The study of this project will play an important role in the relative cohomology theory of complexes and will give some homological characterizations of rings described by complexes.

本项目主要研究复形范畴中的模型结构和相对上同调理论。我们将从R-模范畴中满足一定条件的余挠理论（ ， ）出发，首先要得到复形范畴中的模型结构及完全余挠理论，即研究Gillespie猜想；利用模型结构理论，给出复形的 -维数和 -维数的Ext函子刻画；利用相对Auslander类和相对Bass类研究复形的 -维数和 -维数的有限性，研究复形的 -维数和复形的每个层次上模的 -维数之间的关系；通过对余挠理论（ ，

本项目主要研究复形范畴中的模型结构和相对上同调理论。具体的研究内容为：复形范畴中的模型结构以及与其相应的余挠理论；复形的相对于余挠理论的同调维数；复形的相对上同调群以及和Tate上同调群之间的联系；广义导出函子对复形同调性质的刻画。目前研究目标已按计划实现。到目前为止，本项目已公开发表学术论文25篇，其中SCI论文22篇。本项目执行期间培养博士研究生4名，培养硕士研究生11名，指导博士后1名。主持召开青年代数学术研讨会一次。.我们证明了在一定条件下，R-模范畴中的余挠对(A,B)可决定复形范畴中的完备余挠对，由此可得到复形范畴中更多的覆盖与包络的存在性。利用复形范畴中的 Quillen 模型结构理论，给出了复形的 A-维数和 B-维数的Ext 函子刻画。研究了复形的相对于半对偶复形的Gorenstein同调维数和相对于半对偶模的Tate同调及相对同调，得到了联系Tate同调函子和相对同调函子的Avramov-Martsinkovsky型正合序列，也得到了Tate同调的平衡性结果。研究了和余挠对相关的Cartan-Eilenberg复形和相对于自正交模类W的Cartan-Eilenberg W-Gorenstein复形。研究了与复形相关的相对上同调及Tate上同调，在一类特殊环上对分别具有有限Ding投射、Ding内射维数的模，建立了Avramov-Martsinkovsky型正合序列。研究了无界复形的Gorenstein 同调维数在环同态下的变化情况。确定了在Auslander类A(R)和Bass类B(R)之间的Foxby等价函子的作用之下，DP(R)∩A(R)的对应模类。给出了更多的使得张量积的深度公式成立的充分条件。研究了三角范畴的整体Gorenstein同调维数，并且证明了ε-Tate上同调的平衡性。建立了联系Beligiannis定义的ε-上同调群、Asadallahi-Salarian定义的ε-Tate上同调群和ε- Gorenstein上同调群的Avramov-Martsinkovsky 型正合序列。利用局部余同调函子研究了三角范畴中对象的深度。我们的结果对于掌握复形的各种相对同调不变量，从而研究环的由复形表述的相对同调性质，进一步丰富和发展相对同调代数理论具有重要的意义。同时我们的研究还从复形范畴进一步延伸到一般的三角范畴。