同伦和Hodge理论的方法在Algebraic Cycle中的应用

我们计划用同伦理论和Hodge理论的方法去研究射影代数簇中algebraic cycle组成空间的结构。具体的问题包括：1．射影代数簇上algebraic cycle组成空间的结构是怎样联系到射影代数簇自身的结构。包括对Lawson同调群及 Morphic 上同调群的计算。2．周簇（Chow variety）的代数和拓扑结构。尤其是其拓扑的结构。这包含对射影空间上algebraic cycle空间的各种代数的和拓扑的不变量的计算。 3.光滑射影流形的 Hodge结构与其周群的关系。包括对周群到上同调的algebraic cycle类映射的核与像的研究。这些方法对algebraic cycle的研究取得了重要成果。预期我们将计算出射影空间中周簇的重要的同伦群，周簇的可加性不变量，阿贝尔簇的Lawson同调群，给出阿贝尔簇的Suslin猜想的进展以及引进和发展等变Lawson同调理论。

本项目我们用同伦理论和Hodge理论的方法去研究射影代数簇中algebraic cycles组成空间的结构。主要的研究内容有：1．射影代数簇X上algebraic cycle 组成空间的结构是怎样联系到射影代数簇X自身的结构。2. 周簇（Chow variety）的代数和拓扑结构, 尤其是其拓扑的结构。我们计算了射影空间上algebraic cycle 空间的一些代数的和拓扑的不变量。 3. 光滑射影流形的 Hodge 结构与其周群的关系。我们研究了对周群到上同调的algebraic cycle 类映射的核与像的研究。用这些方法对研究algebraic cycle，我们得到如下研究成果：a) 一般代数闭域上周簇是的Euler示性数的计算，发表在 J.Pure Applied Algebra上; b) 一般代数闭域上的周簇的 virtual Betti 数和virtual Hodge数等的计算, 发表在J. K-theory上；c)周簇的同伦群与同调群的计算,发表在Amer. J. Math.；d) Abel簇上的Lawson同调群的性质等, 发表在Forum Math. 上。这些成果让我们对周簇和Lawson 同调群的结构有了更深入的了解。