可压Navier-Stokes方程及相关模型的渐近分析

可压Navier-Stokes方程及相关模型的渐近分析是应用数学及流体力学中的一个重要课题和领域。本项目旨在借助粘性极限的方法研究包括可压Navier-Stokes方程及MHD方程在内的非线性混合型流体力学方程解的渐近行为。粘性极限是一类具有相当研究难度的奇异极限，它的研究和发展与许多高新科技和实际应用有着密切的联系。.本项目针对可压Navier-Stokes方程及相关模型的粘性极限展开研究， 主要讨论Cauchy问题及边界层问题两大方面- - 着重考察相应无粘方程Cauchy问题有激波或接触间断波等非线性波出现时的粘性极限问题，给出不同情形下非特征边界及特征边界问题的粘性解的结构性刻画及稳定性（或不稳定性）分析，从而建立粘性流与无粘流的渐近等价关系，并得到相应的收敛阶。

本项目在研期间我们主要展开两大方面的研究。我们一方面采用渐近分析、能量估计及相关的变分方法研究了一维可压Navier-Stokes方程、三维Boussinesq方程以及一类可压Euler方程等方程解的渐近性态和稳定性分析；另一方面，我们利用线性迭代估计理论研究了一类非对称双曲流体力学方程组的解的存在性和大时间行为。项目在研期间，我们得到了具有inflow边界条件的一维可压Navier-Stokes方程解与相应Euler方程解的在逐点意义下的渐近等价性，并给出了更高阶的收敛阶估计；对于Boussinesq方程，我们考虑了具有热传导效应的三维Boussinesq方程的特征边界问题，利用加权能量估计的方法我们得到了该方程与相应的无粘、无热传导方程组解之间L2意义下的渐近性；利用特征边界层的研究方法，我们还讨论了具Neumann边界条件一维Keller-Segel方程组的解的渐近问题；此外，利用匹配渐近展开的方法，我们研究了二维情形下具有两侧边界层的拟线性方程组的渐近稳定性，并得到了该方程组解到相应的无粘方程组的解的收敛阶估计。项目在研期间发表学术论文两篇，接收一篇，一篇再投，现有多篇正在整理中。. 本项目在研期间多次参加国内外学术交流活动，包括访问香港中文大学数学所，访问香港城市大学数学系和德国曼海姆大学数学系及意大利格兰萨索科学研究所，与国际知名数学家辛周平教授、杨彤教授、Pierangelo Marcati教授和陈丽教授建立了良好的科研合作交流联系。. 此外，本项目在研期间共招收4名硕士研究生，现在两名研究生三年级学生已经顺利完成硕士毕业论文。