可压缩Navier-Stokes方程组及相关模型解的整体适定性研究

The project is concerned with the global well-posedness of Navier-Stokes equations and related models， which is the most important equations in the field of physics,mechanics, material science and so on. We study the following problems: (1) The global well-posedness of Navier-Stokes with temperature-dependent viscosity with vacuum;(2) The global well-posedness of the infrarelativistic model and the pure scatter case for compressible radiative fluid; (3) The global existence and regularity for compressible micropolar fluid. These problems have drawn the extensive attention from the worldwide mathematical society because of their importance and new research direction. By means of some approaches, techniques and tools, we shall overcome some mathematical difficulties of these physical models to study the global existence, regularity and exponential stability of weak solutions to the Navier-Stokes equations and related models under some resonable assumptions on the initial data.

本项目旨在对物理、力学、材料科学等自然学科领域出现的一类比较重要的Navier-Stokes方程组及相关模型解的整体适定性进行研究。主要研究以下问题：（1）粘性系数依赖于温度和密度的非等熵Navier-Stokes方程组真空问题解的整体适定性；（2）次相对论模型下和纯散射情形下可压缩辐射流体问题解的整体适定性；（3）可压缩微极流体解的整体存在性，正则性以及指数稳定性。这些问题在国际上比较受关注，也是比较新的研究方向。我们将运用一些新的方法、技巧和工具去克服物理模型在数学处理上存在的一些困难，研究在适当初值条件下Navier-Stokes方程组及相关模型解的整体存在性、正则性以及指数稳定性等问题。

本项目主要针对物理、力学、材料科学等自然科学中出现的一类比较重要的非线性发展方程组的解的适定性进行研究，主要包括以下问题：（1） 粘性系数依赖于密度Navier-Stokes 方程组及相关模型解的整体适定性；（2）一维和三维可压缩微极流体相关模型解的整体适定性；这些都是国际上比较受关注和值得研究的重要问题，得到的结果如下：.对于问题（1），我们证明了.（1-1）粘性系数依赖于密度三维的柱对称和球对称的Navier-Stokes 方程组初边值问题的正则性；.（1-2）带有非自治外力项一维等熵可压缩粘性的Navier-Stokes方程组在不连续初值条件下解的整体存在性，密度函数的衰减率以及解的渐近性；.（1-3）二维非自治Navier-Stokes-Voigt方程拉回吸引子的存在性；.（1-4）与Navier-Stokes方程组相关的液晶流体柯西问题解的整体适定性。.对于问题（2）我们证明了.（2-1）一维可压缩微极流体整体吸引子的存在性；.（2-2）三维球对称情况下微极流体解的正则性和指数衰减率；.（2-3）在初始能量非常小的情况下，可压缩微极流体在柱对称情况下解的渐近性和指数稳定性。.这些与Navier-Stokes方程组的相关模型的问题在国际上刚刚起步，理论还不完善，是值得研究的重要问题，因此对这些问题的深入研究，将具有重要意义。