边界层与多尺度分析

A boundary layer is a thin layer of fluid close to the surface where the effects of viscosity cannot be ignored due to the high Reynolds number. Boundary layer theory is an important topic in fluid dynamics and its development is closely related to applications. In this project we will systematically carry out the mathematical research on the singular limits of boundary layers in fluid mechanics and related topics by using the method of multi-scale analysis and the methods on partial differential equations . We will focus on boundary layer problems for multi-dimensional quasi-linear hyperbolic-parabolic coupled equations in general domains. At the same time, we will study the zero dissipation limits for Navier-Stokes equations with several typical physical boundary conditions, including the case that the viscosity coefficient and thermal conductivity coefficient are of different orders. In addition, we will consider the asymptotic stability of the solutions with boundary layers, shock layers and multi-layer structures. Moreover, we will also discuss the well-posedness of Prandtl-type equations in several special cases. Based on the research of this project, we expect a deep understanding on how the behavior of boundary layers and related layer structure affect the singular limits.

边界层，就是高雷诺数绕流中紧贴物面的粘性力不可忽略的流动薄层。边界层理论是流体动力学中重要的课题和领域，它的研究和发展与许多高新科技研究和实际应用有密切的关联。本项目中，我们将主要采用多尺度分析和偏微分方程理论的研究方法，从数学上，系统研究流体力学中与边界层有关的奇性极限理论，重点研究包括半平面在内的一般区域上高维拟线性双曲抛物耦合方程组以及带有几类典型的物理边界条件的Navier -Stokes方程组的边界层问题和解的小参数消失的奇性极限问题；此外，我们还将研究粘性系数与热传导系数不同阶的情形下解的渐近展开形式，边界层、激波层以及多层结构问题解的渐近稳定性，并讨论几种特殊情形下Prandtl型方程组解的适定性和不稳定性。通过此项目的研究将深刻理解边界层及相关的层结构对小参数消失的奇性极限的影响。

该项目执行期间，项目负责人和其他团队成员共完成7篇标注本项目资助的相关学术论文，其中6篇已经发表或接收，1篇在审稿中。已发表或接收的6篇文章均为SCI论文，其中2篇在SCI二区杂志上, 2篇在SCI三区杂志上，2篇在SCI四区杂志Journal of Mathematical Physics上, 该杂志是数学和物理交叉学科杂志，据最新分区表，该杂志分区已提升。 . 粘性消失极限一直以来都是流体力学的重要研究方向之一， 当有边界存在时，人们往往借助边界层理论在讨论，该项目执行期间，我们主要考虑与边界层问题相关的非线性方程组解的渐近稳定性和爆破性质，包括利用分区域渐近展开法和能量估计法讨论一维情形下粘性守恒律方程两点边值问题的粘性消失极限；利用von Mises变换将一个从二维no-slip边界条件无磁扩散的不可压MHD方程组导出的稳态Prandtl型边界层问题转化为单个的二阶拟线性抛物方程，讨论解的适定性和爆破性质；利用余法向估计法证明了粘性磁Benard方程组和相应的无粘方程组的渐近等价性；以及采用匹配渐近展开的方法和更精细的估计证明一维可压缩粘性导热流体的Navier-Stokes 方程在远离两个相互作用的激波的区域中与Euler方程无粘解的收敛性；我们还证明了当Euler流中出现由接触间断波和疏散波所组成的复合波时，小扰动情形下无粘性效应的Navier-Stokes方程与相应的Euler方程的收敛性并给出了收敛阶。. 此外，我们考虑了无粘性效应的Navier-Stokes方程复合辐射效应的辐射流体力学方程解的大时间行为，证明了一类辐射流体力学方程组的解的爆破性质，该结果说明初始扰动不是小扰动的情形下，耗散结构不足以阻止流体部分引起的奇性，该论文正在审稿中。另外仍有两篇边界层理论相关论文在整理中。