基于算子空间的微分流形及非线性偏微分方程的研究

In this project, theories and methods in manifolds of differential geometry are used to study the geometric structure of Riemann manifold and Glassman manifold in operator space. Theory of geodesics on manifold is obtained with discussing some properties of geodesics curve, exponential mapping, curvature and torsion. On the other hand, theories of operator space and Hilbert space are applied to consider a class of non-linear partial differential equations. The well-posedness of solution to this non-linear partial differential equations is got by establishing the existence of solution to the partial differential equations. The anticipated research results not only open up some new research topics for the operator theory and operator algebras, and wide the application prospect of operator theory and operator algebras in the other branches such as partial differential equations.

本项目应用微分几何流形的思想，研究算子空间中的黎曼流形与格拉斯曼流形问题，通过讨论测地线、指数映射、曲率以及挠率的相关性质，得到流形上的测地线理论。另一方面，应用算子空间理论、希尔伯特空间理论，研究一类非线性偏微分方程，通过建立该类偏微分方程解的存在性，得到其解的适定性理论。预期研究成果不仅为算子论与算子代数本身开辟一些新的研究课题，而且拓宽算子论与算子代数在偏微分方程等其他学科分支中的应用前景。

现代偏微分方程理论研究依赖于泛函分析。特别地，泛函分析的方法是研究偏微分方程解的存在性、唯一性的一个必不可少的工具。本项目原计划对算子空间中的流形以及算子空间理论在一类非线性偏微分方程解的适定性研究中开展应用，从而为利用算子空间理论探索非线性偏微分方程解的适定性提供切入点。在获得国家自然科学基金青年基金资助后，本项目进展顺利，研究基本按照原计划执行，对一些研究内容作了调整。本项目运用谱分析、投影算子理论、不动点理论，借助巴拿赫空间中的变分不等式、能量泛函的凸性等相关理论，研究了与流体力学以及气体动力学相关的非线性偏微分方程组解的适定性，本项目的研究成果进一步丰富了非线性偏微分方程组解的适定性。目前，已在国内外核心学术刊物上正式发表论文6篇，其中被SCI检索6篇。