椭圆与抛物方程解的正则性与区域的几何性质

本项目将研究椭圆与抛物方程解的正则性与区域的几何性质之间的关系，这一问题的研究不仅是偏微分方程正则性理论发展、完善的要求，而且研究所取得的理论、发展的方法在自由边界问题、反问题、渗流问题以及工程中的几何设计和最优控制等方面有着广泛的应用。本项目的研究内容是讨论下面的两个问题:(1)给定具有某种几何性质的区域，解的最佳正则性是什麽；(2)要使解达到某种正则性，区域必须需具有怎样的几何性质。其中第一个问题主要针对Reifenberg型区域、凸区域以及Lipschitz区域来讨论；第二个问题主要针对解的W^{1,p}估计以及解在边界的可微性这两种正则性来讨论。项目的研究目标不仅是要给出回答上述问题的理论性结果，而且希望通过对这类问题的研究发展一套新的覆盖和迭代技术，这将对偏微分方程正则性理论的发展产生有力的推动作用。我们前一阶段的研究所取得的成果已为本项目研究的开展打下了奠定性的基础。