布朗运动在多种随机区域上首出时的若干研究

本项目主要研究两大类问题：1，布朗运动在多种复杂随机区域上首出时的渐近估计问题；2，在布朗运动的维数随着时间递增这一符合保险背景的假设条件下，布朗运动首出时的渐近估计问题。虽然对于这两类问题的研究主要基于大偏差与小球概率理论，但具体细节上却有许多不同之处。对于第一类问题，主要借助于李文博、Shi、Lifshits、DeBlassie等学者关于此领域已有的研究成果，结合Gordon、Slepian等比较不等式，运用变分法等基本理论，试图给出相应概率模型首出时的渐近估计。对于第二类问题，主要利用Bessel函数的相关研究成果及结论，结合第一类研究内容，给出相应概率模型的渐近估计。本项目的研究成果不仅在概率渐近理论、Dirichlet问题的概率解上具有重要意义，而且在保险领域中的破产概率理论方面具有广泛的应用前景。

本项目研究了两大类问题：.1，在多种复杂随机区域上，布朗运动首出时的渐近估计问题；.2，在维数随着时间递增这一符合保险背景的假设条件下，布朗运动首出时的渐近估计问题。. 尽管对于它们的研究都基于大偏差与小球概率理论，但细节上却有许多不同之处:. 对于第一类问题，主要借助于李文博、Shi、Lifshits、DeBlassie等学者关于此领域已有的研究成果，结合Gordon、Slepian等比较不等式，运用变分法等基本理论，我们给出了在非随机与随机混合区域，极大、极小混合区域，极大、极小随机正则区域上概率模型首出时的渐近估计，并进一步得到了概率估计上下界的渐近等价性；. 对于第二类问题，主要利用Bessel函数的相关研究成果及结论，结合第一类研究内容，当布朗运动维数不是固定常数，而是随时间变化时，我们初步研究了上述多种概率模型的上下界渐近估计。我们只得到了少量概率渐近估计的上下界，但没有得到这些上下界估计的渐近等价性。此问题的出现，既为我们提出了新的挑战，也为我们以后的科研工作指明了方向。在未来的工作中，我们需要更多精力研究此类问题。