分数布朗运动的扩张及其随机分析

Fractional Brownian motion is a class of self-similar Gaussian process which exhibits long-range dependence, it has become an important stochastic models in various scientic areas including finince, hydrology, telecommunication,.turbulence, image processing. Recently, many authors have got some extensions of fractional Brownian motion and proposed to use them as stochastic models. Because of these extensions preserves long-range dependence and have simple structure, this is meaningful for us to research these processes. This project main research three extensions of fractional Brownian motion and stochastic calculus:(1)we research the sample path properties、stochastic integral、stochastic differential equation and applications of Gaussian extensions; (2) we research stochastic analysis and related problems of non-gaussian extensions, especially, we research the stochastic analysis of Rosenblatt process and some processes driven by Rosenblatt process; (3)we research the sample path properties of fractional Lévy processes and consider the parameter estimation and the stochastic calculus of some processes driven by fractional Lévy processes.

分数布朗运动是具有长相依性的自相似高斯过程，在经济学、水文、电信、救护、影像处理等领域中有着重要的应用。目前，很多著名学者得到了它的一些扩张并建议使用其扩张作为一些现象的随机模型。由于这些扩张均具有长相依性且结构简单，应用方便，所以对其进行研究有一定的理论意义和应用价值。本项目主要研究分数布朗运动的三种扩张及其随机分析:(1)高斯型扩张的样本轨道性质、随机积分、随机微分方程及其相关的应用问题；(2)非高斯型扩张的随机分析及其相关问题，特别是Rosenblatt过程及其驱动的相关过程的随机分析；(3) Lévy型扩张(即分数Lévy 过程)的样本轨道性质及其驱动的相关过程的随机分析及参数估计问题。

作为布朗运动推广的分数布朗运动是一个中心的具有平稳增量的高斯过程，并且还具有自相似，长相依等性质。由于分数布朗运动在水文、电信、救护、影像处理、经济学等领域的应用,近年来分数布朗运动更加受到人们的关注。 另一方面，一些著名学者建议使用更一般的自相似高斯过程和高斯域来替代分数布朗运动作为一些问题的随机模型， 其中的一些问题已经得到许多关联于自相似高斯过程与高斯域的重要理论。因此，介绍了一些分数布朗运动的扩张过程。. 本项目旨在研究分数布朗运动的几种扩张的性质、随机分析及其一些相关联的应用问题。. 首先，研究了高斯型扩张的样本轨道性质、随机积分、随机微分方程及其相关的应用问题。即，研究了次分数布朗运动的样本路径性质，随机积分及其相关问题；研究了双分数布朗运动，赋权分数布朗运动的随机分析问题；研究了分数布朗运动等高斯过程驱动的Ornstein -Uhlenbeck过程的局部时及其参数估计；研究了分数布朗运动驱动的随机偏微分方程；研究了由分数布朗运动驱动的金融市场模型下权益指数年金(EIA)的定价问题等。. 其次，研究了非高斯型扩张的随机分析及其相关问题，特别是Rosenblatt过程及其驱动的相关过程的随机分析。即，研究了Hilbert空间中由Rosenblatt 过程驱动的带延迟的中立型随机偏微分方程；分别构造了平面上的泊松过程；随机游动；鞅差序列弱收敛到Rosenblatt单；研究了Besov空间中Rosenblatt单的弱极限定理；利用多重Wiener积分得到了Rosenblatt单的最优逼近问题等。. 最后，研究了Lévy型扩张(即分数Lévy 过程)的样本轨道性质及其驱动的相关过程的随机分析及参数估计问题。即，研究了实质多分数Lévy过程的样本轨道性质；研究了离散时间观测下分数Lévy过程驱动的Ornstein -Uhlenbeck过程的参数估计问题；研究了alpha-stable Lévy 运动驱动的第二类Ornstein -Uhlenbeck过程的参数估计问题；研究了两种多分数stable 单的局部时问题等。. 项目的主要研究内容已经完成，研究目标已经达到。在项目资助下课题组成员积极参加学术交流，同时提升了研究生培养质量，在国内外学术期刊共发表研究论文35篇（含在线发表4篇），其中被SCI收录论文25篇。多篇文章已被他引。