分数布朗运动局部时泛函的随机分析及相关问题

As a Gaussian process, fractional Brownian motion which is not a semimartingale and admits the stationary increments, self-similarity and long range dependence, has been widely applied in various scientific areas including mathematical finance, hydrology, telecommunications, image processing and stochastic control science. In recent years, with developing of Malliavin calculus and chaos expansion technique, there has been considerable interest in studying fractional Brownian motion and its functionals, and stochastic equations driven by fractional noise. Meanwhile, it is clear that some functionals related to the fractional Brownian local time can be applied in the quantum field theory, polaron problem, polymer models and parabolic stochastic Anderson models. Based on the theory and method of non-semimartingale, this project aims to study the stochastic analysis of some functionals of fractional Brownian local time and related topics. First, the p-variation, Hölder-continuity and fractional smoothness of (self-)intersection local times with respect to fractional Brownian motion and of its fractional derivative will be considered. Second, motivated by Lyon’s rough path theory, our objective is to establish the path integral along rough paths associated with fractional Brownian local time and to derive the more general Itô formula. At last, Besov regularity and central limit theorems of some functionals related to the fractional Brownian local time will be investigated.

分数布朗运动作为非半鞅的高斯过程，因其具有平稳增量性、自相似性、长相依性等性质而广泛应用在金融学、水文、电信、影像处理和随机控制等领域。近年来，随着Malliavin计算和混沌展开技巧的发展，分数布朗运动及其泛函的随机分析和由分数噪声驱动的随机方程受到了极大的关注。同时，分数布朗运动局部时泛函能很好地应用在量子理论领域、极化子问题、聚合物模型以及抛物型随机Anderson模型等。因此，对分数布朗运动局部时泛函的研究具有重要的理论意义和应用价值。本项目借鉴非半鞅框架下的理论和方法，深入探究几类分数布朗运动局部时泛函的随机分析及相关问题。首先研究分数布朗运动自(相)交局部时及其分数阶导数的p-变差，Hölder连续性和更一般的光滑性；其次研究分数布朗运动局部时关于空间变量的粗轨道积分及更一般的伊藤公式；最后研究几类分数布朗运动局部时泛函的Besov正则性和相关的中心极限定理。

作为非半鞅的高斯过程---分数布朗运动因其良好的性质被广泛应用在控制科学、金融、水文、电子通讯、成像加工等领域，是近些年来随机分析领域的新兴方向。结合Malliavin分析，本项目主要研究分数布朗运动驱动的一些积分泛函和分数噪声驱动的随机(偏)微分方程解的一些相关性质。. 通过项目的执行，我们在Hurst指数大于或小于二分之一这两种情况下证明了一类非光滑的分数布朗运动驱动的积分泛函的存在性，这里的随机积分是指Skorohod积分。通过分数布朗运动的伊藤公式，我们给出了其具体的表现。这里需要指出的是，当Hurst指数小于二分之一的时候，我们是运用广义二次协变差给出其表现的。在此基础上，我们运用光滑逼近和Hilbert变换得到了占位时等式、伊藤公式以及相关的极限定理。我们运用实差值方法和Malliavin变分，得到了一类积分泛函的Holder连续性和Malliavin意义下的最优光滑性。其次，我们研究了几类分数噪声驱动的随机(偏)微分方程解的存在性和解的一些渐近性质。运用一些逼近技巧和Picard迭代，在系数是非Lipschitz情形下，我们证明了两类分数布朗运动驱动的倒向随机微分方程解的存在唯一性。运用大偏差技巧和变分方法，我们研究了分数布朗运动驱动的分数热方程解的长时间渐近性质。也就是说，当时间趋于无穷的时候，我们找到了解的p阶矩的准确极限。运用局部非确定性和混沌展开技巧，我们研究了可加分数噪声驱动的随机热方程解的局部时。我们研究这类碰撞局部时的存在性、光滑性和正则性。我们也得到了其相交局部时的光滑性，并给出了其是光滑的充分必要条件，同时也给出了一个具体的充分条件。. 最后，我们将分数布朗运动驱动的随机微分方程应用在随机控制领域上。当Hurst指数大于二分之一时，我们根据算子理论和分数布朗运动的随机计算给出了一类随机时滞方程可控性的充分条件，还得到了这类分数噪声驱动的随机时滞方程解的指数稳定性。. 这些结果对分数布朗运动驱动的积分泛函、随机微分方程和随机偏微分方程具有很大的推动作用。