von Neumann代数上的非交换Hp理论研究

以von Neumann代数的次对角算子代数为非交换解析模型，应用著名的Tomita-Takesaki理论和Haagerup约化理论，基于模同构群在极大次对角算子代数上的群作用和非交换Radon-Nikodym导数，研究探讨von Neumann代数上的非交换Lp空间中的Hp结构、对偶和前对偶空间及其唯一性问题、"外函数"特征和"内外"分解性质，进一步考虑次对角算子代数在非交换Lp中的不变子空间格，同时应用于研究解决次对角算子代数的极大性及分类问题，并通过研究次对角算子代数与矩阵代数的张量积结构以及相应的算子分解，研究解决次对角算子代数的泛(universal)分解和稳定(stable)分解问题，通过分解性质与代数幂等元的关系,计算一类次对角算子代数的K群，期望应用分析的方法获得解析算子代数的代数不变量。

我们课题组从2010年1月至2012年12月开始，受到国家自然科学基金资助, 按计划开展von Neumann代数,解析算子代数，非交换Hp空间，算子代数上的映射和导子以及算子代数的应用等相关研究。三年来，我们对von Neumann代数以及解析子代数，非交换Hp空间理论及算子代数上的映射和导子等相关问题做了比较系统深入的研究。首先，应用Tomita-Takesaki理论，证明了由一个极大次对角算子代数定义的非交换Hp空间与保持条件期望的忠实正规态无关，并应用于研究了次对角算子代数的特征。特别地，应用Haagerup约化理论建立了非交换Hp空间链，完成了次对角算子代数的极大性问题，模同构群的不变性问题和部分分解问题的等价性证明。同时，研究了非交换Hp空间上的解析Toeplitz算子代数，解决了左、右解析Toeplitz代数的相互代数换位问题，深入研究了非交换Hardy空间上的Hilbert变换，获得了非交换Hp空间的对偶空间表示。同时研究了交换行压缩生成的von Neumann代数与其正规性及不动点的联系。其次，为了刻画算子代数的解析和代数以及几何特征，课题组深入研究了算子代数上的映射和导子，我们以算子乘积的投影为不变量刻画B(H) 的代数同构以及Jordan同构等特征，并对三角代数，套代数等一些非自伴算子代数上的导子，Lie导子等Lie结构做了深入的研究和探讨。最后我们注重算子代数在量子信息和控制理论的应用研究，计算了量子运算的不动点，给出了一类量子运算不动点代数的表示，刻画了线性算子的广义逆及其逆序律特征，研究了双线性Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程基于Ｌｉａｐｕｎｏｖ函数方法的轨迹规划问题。共发表或接受待发表论文22篇，其中SCI期刊论文8篇，《数学学报》3篇。部分论文已被Science China Mathematics，Operator and Matrices等杂志接受待发表。