von Neumann代数上的非交换广义Hardy空间

The theory of classical Hardy spaces is an important part in complex analysis. Recently, noncommutative Hardy spaces based on von Neumann algebra have attracted more attention. In this project, based on the theory of operator algebra, operator theory and complex analysis, starting with the maximal subdiagonal algebra in von Neumann algebra, we will deeply study the noncommutative generalized Hardy spaces by replacing the usual p-norms with unitarily invariant norms. Specifically, by the generalized Hölder's inequality, the dual spaces of noncommutative Lp spaces will be investigated, then we will provide the characterizations of generalized Hardy spaces；The topological structures with respect to unitarily invariant norms in the von Neumann algebra will help us to extend the Beurling's invariant subspace theorem；Using the Fuglede-Kadison determinant, we will study the “outer functions” in the general setting and solve the inner-outer factorization problem. In the process of comparing the traditional methods with our new ideas used in this project, new directions and new problems in the study of Hardy spaces will be explored, which will further the development of operator algebra and operator theory.

经典Hardy空间（交换的Hp空间）理论是复分析的重要组成部分之一。近年来，von Neumann代数上的非交换Hp空间理论受到了国内外学者的广泛关注。本项目以算子论，算子代数与经典复分析为理论基础，以von Neumann代数上的次对角代数为非交换解析模型，利用酉不变范数代替常规的p范数，系统研究非交换广义Hardy空间理论。具体而言，借助广义Hölder不等式，研究非交换Lp空间的对偶，给出非交换广义Hardy空间中解析算子的刻画；利用von Neumann代数中范数拓扑结构理论，探讨非交换广义Hardy空间中Beurling不变子空间问题；利用Fuglede-Kadison 行列式分析解析算子空间中“外函数”的特征，进而解决内外型分解问题。在梳理和发展Hardy空间中传统研究方法的同时，探索非交换Hardy空间研究的新方向和新问题，促进算子论和算子代数的进一步发展。

我们课题组从2017年1月至2019年12月开始，受到国家自然科学基金资助。课题组主要通过函数空间上的算子理论，结合经典复分析理论，算子代数理论等，提出了一种新的规范化的gauge范数代替常规的p-范数。在此范数基础上，按计划对单位圆盘上广义Lebesgue空间与广义Hardy空间，向量值函数空间与多连通区域函数空间，乘法算子不变子空间的结构以及近似保持正交性映射等相关问题进行了深入的研究。首先，基于新的gauge范数，我们定义了广义Lebesgue空间，并得到了其相应的对偶空间，此结论与一般意义上Lp空间的对偶有相似的地方，但也有区别。同时，项目组成员利用函数空间与算子空间中范数拓扑结构理论，在广义Lebesgue空间与广义Hardy空间中不变子空间的研究方面取得重要进展，证明了Beurling-Helson-Lowdenslager定理。其次，对于任意给定的可分Banach空间X，我们给出了向量值X下广义Lebesgue空间中的控制收敛定理，并利用乘积拓扑空间中可测叉积的技巧系统研究了向量值X下广义Hardy空间理论，证明了Beurling不变子空间定理在向量值情形下依然成立。另外，项目组成员借助单位圆盘与多连通区域之间的等距复合算子，深入研究了多连通区域上广义Hardy空间理论。在这种新的空间中，我们给出了多连通区域上不变子空间的结构与形式，刻画了“内函数”与“外函数”的表示，得到了由广义Hardy空间中乘法算子生成代数的性质。最后，利用给定算子T的范数与极小模，描述了近似保持正交性映射与下有界算子的等价性，从而完全刻画了近似保持正交性映射的特征与性质。本项目历时三年，发表SCI论文4篇。这些工作自发表以来，得到了国内外学者的高度关注，并引发了一系列相关研究的产生。