次对角代数与非交换Hp空间结构分析

Subdiagonal algebras are very important subalgebras in the study of analytic structure of von Neumann algebras. By use of Tomita-Takesaki theory，crossed product and Haagerup reductive theory, we shall study subdiagonal algebras and noncommutative Hp spaces based on the Haagerup's noncommutative Lp spaces on von Neumann algebras. The main contents include: (1) We shall study the normal norm-preserving unique entension property of a normal functional on subdiagonal algebras. A noncommutative version of F. and M. Riesz Theorem should be considered. As an application, we try to study the predual of a subdiagonal algebra. (2) We shall study the logmodularity of a subdiagonal algebra and an essential relationship between this property and the maximality should be revealed. Moreover, we shall consider the completely positive and completely contractive(isometric) unique extension of any completely contractive (isometric) representation for a subdiagonal algebra. Furthermore, Shilov boundary of a subdiagonal algebra should be given. (3) We shall establish interpolation, the Hilbert transform as well as dual spaces for noncommutative Hp spaces. (4) We shall study linear maps on noncommutative Hp spaces which (completely) preserve some analytic characterizations. Further essential characterizations for (complete ) isometries between Hp spaces should be considered.

次对角代数是刻画von Neumann代数解析结构的重要一类子代数。本课题拟在Haagerup基于一般von Neumann代数的非交换Lp空间的框架下，应用Tomita-Takesaki理论，叉积和Haagerup约化理论，研究次对角代数及非交换Hp空间的结构。主要内容包括：(1)研究次对角代数的正规泛函的唯一正规保范延拓性质，建立非交换F.Riesz和M.Riesz定理，并应用于刻画其前对偶空间。(2) 研究次对角代数的对数模性特征，揭示这一特征与极大性的本质联系，探讨次对角代数的完全压缩(等距)表示的唯一完全正压缩(等距)延拓问题和非交换Shilov边界。(3) 建立无限非交换Hp空间的插值公式和Hilbert变换，并应用于研究其对偶空间。 (4) 以非交换Hp空间的解析特征为不变量，研究非交换Hp的(完全)保持问题，进一步获得非交换Hp空间(完全)等距的本质特征。

我们课题组从2014年1月至2017年12月，受国家自然科学基金资助，按计划对次对角算子代数与非交换Hp空间理论以及泛函分析在控制科学旳应用等相关问题展开了系统深入的研究我们注重数学与控制理论的交叉学科研究，开展泛函分析在控制理论中的应用研究。在von Neumann代数以及次对角算子代数建立的非交换Hp空间上，研究了解析Toeplitz算子及其代数结构，无限von Neumann代数上非交换Lp空间的Hilbert变换，Riesz投影，对偶及前对偶空间，在一定条件下建立了无限非交换Hp空间的插值公式。同时，我们研究了von Neumann代数的序结构与对数模，刻画了序结构的遗传子空间。在von Neumann代数引入新的*积运算，刻画了von Neumann代数上的*-同构，研究了一类可加保持问题。进一步地，我们将算子代数与微分几何交叉，研究了算子流形上的的微分几何结构，基于Halmos的双投影模型，给出了具有固定差的正交投影对的von Neumann代数表示， 研究了C*-代数的广义投影空间的微分几何结构。另一方面，我们注重数学与控制理论的交叉学科研究，开展了泛函分析在控制理论中的应用研究。