鞅方法在二进调和分析中的应用

There are some essential differences between dyadic harmonic analysis and classical harmonic analysis although they are closely linked.The aim of the item is to study the applications of martingale methods in dyadic harmonic analysis and the main contents are following:(1)We research the boundedness of classical operators and study some inequalities by martingale transforms. Moreover we try to find the optimal constants of inequalities and discuss the relationship of different bases of the the space. (2) We study the boundedness of Cesaro operator,Sunouchi operator and maximal operator of dyadic derivative in strong and weak Orlicz martingale spaces by stopping times and good lambda inequality. We discuss the weighted case and the convergence of some sequences.(3) We study the Orlicz-Lorentz martingale spaces by atomic decompositions. And we discuss the dual theorems, embedding theorems and interpolation theorems of Orlicz-Lorentz martingale spaces. At last, we research the boundedness of the above mentioned three operators in Orlicz-Lorentz martingale spaces. The contents as above belong to cross areas of martingale theory, Banach space theory and dyadic harmonic analysis. Moreover they are the most active subjects in such areas. The research meaning of the item is following: We establish the links between dyadic harmonic analysis and classical harmonic analysis and make dyadic harmonic analysis combined with martingale spaces theory by martingale methods. By these the theory of Classical harmonic analysis is enriched.

二进调和分析与经典调和分析既有紧密联系又有本质区别.本项目着重研究鞅方法在二进调和分析中的应用，主要内容有：（1）利用鞅变换方法研究二进调和分析中经典算子有界性及若干不等式，寻求不等式最优常数，分析空间不同基底之间的关系;（2）利用鞅停时理论和好lambda不等式研究Cesaro算子、Sunouchi算子、二进求导极大算子在强、弱Orlicz鞅空间上的有界性，探讨加权理论，研究几类序列的收敛问题;（3）利用鞅的原子分解理论研究Orlicz-Lorentz鞅空间，探讨不同鞅空间的对偶理论、相互嵌入关系和内插理论，探讨上述算子在Orlicz-Lorentz鞅空间的有界性质.上述内容属于鞅论、Banach空间理论、二进调和分析理论交叉学科领域，是近年来上述领域活跃的研究课题.本项目研究意义在于：利用鞅方法把二进调和分析与经典调和分析建立联系，鞅空间理论与经典调和分析相结合，丰富经典调和分析理论.

二进调和分析理论与经典调和分析理论有着紧密联系和本质区别，而经典调和分析理论与鞅空间理论又有着紧密联系. 众所周知，鞅空间理论有着丰富的理论知识和高效的研究工具，例如停时理论，原子分解理论，鞅变换理论以及不等式理论.. 利用鞅成熟的方法理论，来研究二进调和分析理论相关知识便是本项目的重要工作内容. 我们利用鞅的原子分解理论研究二进调和分析理论中某些重要算子的有界性问题，着重研究二进求导极大算子的有界性以及特征系统Kaczmarz重排后Cesaro算子的有界性. 另一方面我们利用鞅停时理论和好lambda 不等式研究二进调和分析中序列的收敛问题. 我们重点讨论了二维情况下由有孔序列生成的可积函数的Walsh级数部分和子序列的(C,1)均值序列的收敛情况. 最后方面我们利用原子分解理论和鞅变换理论这两种鞅方法研究二进调和分析中信号问题, 着重研究混沌信号、脉冲星信号的降噪问题以及谐波信号的提取问题.. 鞅的这些有效工具和方法在二进调和分析理论中起着重要作用，继续深入研究这些工具本身的特性及其应用，这也是本项目的重要内容. 我们着重研究了Orlicz-Lorentz鞅空间的原子分解理论及内插理论， BMO-Lorentz鞅空间理论，凹函数生成的Hardy-Orlicz空间的原子分解理论以及拟鞅的一些不等式，并分别对上述空间找到值空间几何性质特别是光滑性和凸性的等价刻画. . 总之我们的工作不仅丰富了原有的很多结论，更体现了不同学科的相互渗透，具有较好的科学意义. 我们在Acta Mathematica Scientia，Journal of inequalities and applications，应用数学，数学杂志，物理学报等国内外重要期刊上发表论文10 篇，其中SCI 收录7 篇，核心期刊论文3 篇，另有一篇论文已经被核心期刊《应用数学》录用，于2016 年第一期见刊. 本项目培养硕士研究生4 名.