非线性混杂系统中的非光滑优化理论与算法

The nonlinear hybrid system and its optimal control problem exist generally in biology, engineering, economics. They are functional optimization problems constrainted as nonlinear piecewise smooth dynamical system in infinite function spaces. These problems have been an important topic of research in the hybrid system and the control theory communities in recent years. Currently, the main results in this subject concentrate on the theoretical research. And the effective numerical optimization theory and algorithm have not been obtained based on these problems. In this project, applying the nondifferentiable optimization, the region decomposes and bilevel programming, we start with establishing optimization conditions and constructing the feasible descent direction. We also give the global optimization algorithm which can be realized numerically. These achievements can not only been extended to the numerical optimization problems constrainted as nonlinear nondifferentiable dynamic systems, but also promote the development of other relevant subjects, such as engineering, the life sciences and economics. Therefore this research is a meaningful work both in theory and in practice.

非线性混杂系统及其最优控制问题普遍存在于生命科学、工程技术及经济学等学科中，它是无穷维函数空间中以非线性分段光滑动力系统为约束的泛函优化问题,是控制论与混杂系统交叉发展的前沿课题。目前该领域的主要成果集中于定性理论研究；而已有的理论成果很难转化为实用有效的数值优化理论与算法。本项目将应用不可微优化、区域分解、双层规划等理论研究该类约束泛函极值问题的数值优化理论与算法，给出此类问题的最优性条件、可行下降方向、以及可在计算机上实现的全局优化算法。这些成果不仅可推广到非线性不可微动力系统为约束的数值优化中，还可推动工程科学、生命科学、经济学等交叉学科的发展，促进地区经济的可持续发展和生态环境的改善，同时将创造可观的经济效益。因此该项研究具有重要的理论意义与实用价值。

本项目的研究包含两部分，一部分是基于混杂动力系统和随机混杂动力系统的理论结果，另一部分是以甘油为原料经微生物发酵生产1,3-丙二醇为背景，研究一类混杂非线性动力系统的辨识与最优控制的优化理论与算法，取得的主要成果有：.1.获得了随机微分系统的生存性与随机控制系统解的存在唯一性、有界性等性质。进一步研究了随机切换非线性系统的矩稳定性和轨道稳定性问题，得到了随机切换非线性系统的p阶矩ψγ稳定与几乎必然ψγ稳定的结果.这些理论结果是对已有相关结果的真推广，是研究控制问题的理论基础。.2.依微生物发酵过程中细胞内酶催化与基因调控原理，建立了混杂非线性微生物发酵动力系统及其辨识模型，证明了动力系统中状态变量关于变量的连续性、Lipschitz连续性、线性增长性及偏导数的连续性等，动力系统解关于参量的存在唯一性、辨识与控制问题最优解的存在性及达到最优解的必要条件等。.3.依混杂系统的分段光滑性，把非线性混杂系统为约束的泛函优化问题分解为多阶段有限个子问题，使每个阶段子问题的动力系统是充分光滑的。根据子问题的解和原问题的解之间的关系，从子问题的最优解中获得原问题最优解。本项目的方案中建立新的达到最优解的最优性条件，构造可行下降方向，从而构造可实现的优化算法。