有限时间投资消费模型的自由边界问题

The investment-consumption problems are concerning how to exploit initial wealth to maximize the expected discounted utility of consumption over time. We mainly use the techniques of partial differential equations, supplemented by stochastic analysis, to study a class of continuous investment-consumption models with some constraints on investment and consumption. The aim is by studying the solutions of equations and the free boundaries to quantitative and qualitative research the optimal investment strategy, to provide reference for investment and consumption decisions.

投资消费模型是研究投资者如何利用初始财富在投资和消费过程中，最大化贴现消费效用的期望值。我们主要用偏微分方程的工具，辅助随机分析的技术来研究一类有限时间、带有某些投资限制和消费限制的连续型投资消费模型。目的是通过研究方程的解的性质和自由边界的性质，来定性定量分析最优的投资策略，为投资消费决策提供依据。

投资消费模型是金融数学中非常热门的课题，本项目主要用偏微分方程的工具，辅助随机分析的技术来研究一类时间连续有限，带有某些投资限制和消费限制的投资消费模型。目的是通过研究对应的偏微分方程的解的性质和自由边界的性质，来定性定量分析最优的投资和消费策略，为投资消费决策提供理论依据。我们先建立一般情况下具有消费效用和终端效用的模型，以及推导对应的HJB方程,然后，我们给出三个不同投资限制和消费限制下的偏微分方程定理问题，分别讨论方程的解的存在唯一性，然后推导包括解的光滑性、上下界及单调性在内的先验估计。对于后两个问题，我们得到消费自由边界是单调递增，具有一阶光滑性的曲线。