借粒子方法与反射随机微分方程

In this proposal the following problems will be studied: 1. The existence of the distribution density of the solutions of reflected stochastic differential equations driven by Levy processes; 2. Localization of fractional Poisson functionals and its applications to the approximate calculation of densities; 3. The determination of the support of obliquely reflected stochastic differential equations; 4. The equivalence of viscosity solutions and distribution ones of the Neumann problem of elliptic and parabolic equations of second order; 5. Numerical computation of solutions of reflected stochastic differential equations; 6. Probabilistic representation of the solutions of the Neumann problem with nonsmooth boundary of elliptic and parabolic equations of the second order; 7. Smoothness in the sense of Malliavin calculus of local times and self-intersection local times of symmetric stable processes; 8. Regularity of densities of stochastic delay differential equations with degenerate coefficients; 9. The Varadhan estimate for the density of the solutions of stochastic differential equations driven by Levy processes; 10. The rate of weak convergence of the Euler scheme of stochastic differential equations driven by Levy processes; 11. The rate of weak convergence of the Euler scheme of stochastic delay differential equations driven by Levy processes.

本项目将研究如下问题：1.Levy过程驱动的反射随机微分方程的解的分布密度的存在性；2.分数次Poisson泛函的局部化及其在密度近似计算上的应用；3.斜反射随机微分方程的解的支集的确定；4.二阶椭圆与抛物方程的Neumann问题的粘性解与分布解的等价性问题；5.反射随机微分方程的解的数值计算问题；6.边界不光滑时二阶椭圆与抛物方程的Neumann问题的解的概率表示；7.对称稳定过程的局部时和自交局部时在Malliavin Calculus意义下的光滑性；8.系数退化时Levy过程驱动的随机延迟微分方程的密度的正则性；9.Levy过程驱动的随机微分方程的解的密度的Varadhan估计; 10.Levy过程驱动的随机微分方程的欧拉折线逼近的弱收敛速度;11.Levy过程驱动的随机延迟微分方程的欧拉折线逼近的弱收敛速度;

本项目主要研究了借粒子方法在随机微分方程中的应用和反射随机微分方程的若干性质。第一个大方向为借粒子方法。借粒子方法是Poisson空间上最接近于Wiener空间上的Malliavin Calculus的一种微分分析方法，我们将这种方法用于Levy过程驱动的随机微分方程，在一般Hormander条件下得到了其解的分布密度的存在性与光滑性，及小时间概率密度的渐近估计，并由此证明非局部算子的亚椭圆性与抛物亚椭圆性。我们还进一步证明了椭圆条件下Levy过程驱动的泛函随机微分方程的解的分布密度的存在性与唯一光滑性。第二个方向是反射随机微分方程。我们研究了由Brown运动驱动的反射随机微分方程和Mckean-Vlasov型反射随机微分方程, 建立了它们和决定性偏微分方程的的联系. 通过此联系, 我们发展了双向的作用: 既用随机分析的方法研究偏微分方程的Neumann问题, 得到新的结果, 也用偏微分方程的Neumann问题的理论和方法研究反射随机微分方程。