反射随机微分方程和反射扩散过程

This proposal is concerned with reflected stochastic differential equations and reflected diffusion processes in domains which are neither smooth nor convex, as well as partial differential equations with boundary conditions. We will study the following problems: (1) The wellposedness of reflected stochastic differential equations and partial differential equations with boundary conditions. This includes the existence, uniqueness and stability of solutions of reflected stochastic differential equations driven by general Lévy processes, the wellposedness of reflected stochastic differential equations with singular coefficients, and correspondingly, nonlinear partial differential integral equations with Neumann、Oblique boundary conditions. (2) Some fundamental problems concerning reflected diffusion processes. In this respect we aim to establish the equilibrium theory and stationary distribution, and solve the submartingale problem. We also consider accelerating reflected Gaussian diffusions and attempt to find the best approximating reflected diffusion process. Large deviations and moderate deviations are expected to be well established as well, through the classical analytic approach and the weak convergence method. (3)Partially reflected processes, and the wellposedness, stability, and approximation problems of stochastic differential equations reflected in domains with moving boundaries.

本项目研究非光滑、非凸区域内的反射随机微分方程和反射扩散过程，以及相关的带边界条件的偏微分方程，包括以下几个问题：（1）反射随机微分方程和带边界条件偏微分方程的适定性问题，具体研究一般Levy过程驱动的反射随机微分方程解的存在性、唯一性、稳定性，具有奇异系数的反射随机微分方程的适定性问题，以及对相应的带(Neumann、Oblique)边界条件的非线性偏微分积分方程建立包括存在性、比较原理、正则性等在内的粘性解理论；（２）反射扩散过程的性质，包括建立遍历性、平稳分布理论, 解决下鞅问题，研究反射Gauss扩散过程的加速逼近问题，并通过分析方法和弱收敛方法对受扰动的反射随机微分方程系统建立大偏差、中偏差原理；（３）局部反射过程, 和具有移动边界的区域内反射随机微分方程的适定性、稳定性和数值逼近问题。

通过本项目的执行，我们研究了非光滑、非凸区域内的反射随机微分方程和反射扩散过程，以及相关的带边界条件的偏微分方程，包括以下几个问题：（1）反射随机微分方程和带边界条件偏微分方程的适定性问题,解的存在性、唯一性、稳定性，具有奇异系数的反射随机微分方程的适定性和极限理论，以及对相应的带(Neumann、Oblique)边界条件的非线性偏微分方程建立包括存在性、比较原理、正则性等在内的粘性解理论；（２）反射扩散过程的性质及其应用，建立了反射跳扩散过程的遍历性、渐近连续性、支集表示等结果，并通过新建立的粘性解理论对受扰动的反射随机微分方程系统建立大偏差原理；通过反射扩散过程和反射随机微分方程研究了带边界条件偏微分方程分布意义和粘性意义下两类弱解的联系。在研究的过程中根据国内外的最新研究动态作了适当的调整，比如非线性随机偏微分方程的适定性问题。