李超代数的上同调群与极大子代数

As a natural generalization of Lie algebras, Lie superalgebras play an important role in the theoretical physics and mathematics. We are mainly concerned with some problems relative to the cohomology groups and the maximal subalgebras of Lie superalgebras: (1) Motivated by the method in modular Lie algebras, we aim to compute the second cohomology groups of Lie superalgebras of Cartan type with coefficients in the adjoint module by constructing the spectral sequence associated to a filtered complex; Using some reduction methods, such as the weight space decomposition, we aim to compute the low dimensional cohomology groups and the second cohomology groups of Lie superalgebras of Cartan type over fields of characteristic zero with coefficents in certain modules (trivial modules、adjoint modules、dual modules、 irreducible modules, and so on) by virtue of considering the existence of non-degenerate associative form; According to the ring structures of the relative cochains, we aim to describe the associative superalgebra structure on the whole space of (divided power) cohomology groups with coefficents in the trivial modules for some nilpotent Lie superalgebras; Consider the extension of Lie superalgebras by means of some nilpotent Lie superalgebras. (2) As in modular Lie algebras and classical Lie superalgebras over fields of characteristic zero cases, we aim to determinate the classifications of maximal subalgebras of simple Lie superalgebras of Cartan type and their even parts by using a constructive method.

李超代数作为李代数的自然推广，在理论物理和数学领域中扮演重要角色。本项目旨在研究李超代数的上同调群与极大子代数及相关问题。具体来说：(1)借鉴模李代数的方法，通过构造相关滤过复型的谱序列研究Cartan型模李超代数的系数取自于伴随模的2-阶上同调群；利用权空间分解等约化方法，从研究非退化结合型的存在性出发，研究特征零域上Cartan型李超代数到某些具体模（平凡模、伴随模、对偶模、不可约模等）的低维上同调以及2-阶上同调群问题；利用相关上链复型的环结构，通过生成元与生成关系刻画幂零李超代数的系数取自于基域的整体（除幂）上同调群的结合超代数结构；考虑任意李超代数通过某些幂零李超代数的扩张。(2)利用构造法，类比模李代数与特征零典型单李超代数的相关方法和结论对Cartan型单模李超代数及其偶部的极大子代数进行分类。

李超代数与理论物理及数学的许多分支有密切关系。本项目旨在研究李超代数的上同调群与极大子代数及相关问题。具体来说：(1)利用权空间分解等约化方法，研究了Cartan型李超代数到某些具体模（平凡模、伴随模、对偶模、不可约模等）的低维上同调问题；利用相关上链复型的环结构，通过生成元与生成关系刻画了幂零李超代数的系数取自于基域的整体（除幂）上同调群的结合超代数结构；利用李超代数的通过两个相关Abel李超代数的扩张与表示，考虑了任意李超代数通过某些幂零李超代数的扩张。(2)研究了某些Cartan型模李超代数的限制单模以及Abel李超代数的忠实表示。(3)利用构造法，类比模李代数与特征零典型单李超代数的相关方法和结论对Cartan型单模李超代数的某些极大子代数进行分类。