拓扑动力系统中的混沌和 Furstenberg 族

本项目研究定义在一般的度量空间（特别是连续统、符号空间以及低维空间）.上由映射迭代所决定的动力系统的混沌性质。我们已经将经典的Li-Yorke 混沌与各种分布混沌通过Furstenberg 族的语言统一起来了。我们将对这种与Furstenberg族联系着的混沌进行进一步的研究，以增进对系统的混沌性质更为深入的认识。在此过程中我们也继续将以往分散的关于Li-Yorke 混沌和分布混沌的已有结论进行统一的处理。我们将"设计"一系列新的Furstenberg族以提供应用。此外我们还将(1)研究拓扑熵与通过 Furstenberg 族定义的混沌之间的关系;（2）试图探索如何通过Furstenberg族来扩展我们自己原先定义的一类混沌，并试图进行平行的讨论；（3）将其他类型的混沌予以"族化"，并推进原先一些传统的结论。

本项目旨在研究拓扑动力系统中的混沌理论及相关问题。我们的主要研究线路是将 Furstenberg 族的理论引入由映射迭代生成的动力系统和由半群在空间上的作用所确定的系统的研究之中，将一些受到广泛关注而又相对独立的动力学性质借助族的语言给予统一刻画。我们取得的主要研究成果有如下几个方面: (1) 通过引入一类新的Furstenberg族,给出了一类比通常的分布混沌更为严酷的混沌(我们称之为超幂混沌)，这一结果进一步地揭示了混沌系统的丰富内涵; (2) 我们考察了熵和 Furstenberg 族混沌之间的关系, 给出了具有特定要求的混沌系统的例子; (3) 通过引入了由一个向量所生成的族的概念, 我们将Furstenberg族的语言引入多重传递和对角线传递等系统研究中，证明了相对于向量的多重传递、多重对角线传递和多重极小等传递性可以由相对于Furstenberg族的点传递予以刻画，解决了由Kwietniak 和 Oprocha 等人所提出的如何对此类传递系统给出恰当的动力学刻画的问题; (4) 证明了对C-半群在Polish空间上的作用所确定syndetic传递系统,或者是极小等度连续系统,或者是敏感系统.