拓扑动力系统的回复点及其产生的混沌

Chaos is a hot topic of physics and mathematics in recent decades, it has been widely used in many fields. In our project, we study recurrent points, chaos and the causal relationship between them. Our research contains three parts：(1) Measure center is an important tool to study the complexity of dynamical systems, as we know, it is determined by weakly almost periodic points or quasi- weakly almost periodic points. The question is can we find other recurrent point types which determine the measure center? (2) By using topological methods and ergodic theory method, we study what role recurrent points play in chaos, mainly concern with the sensitive dependence on initial conditions, uncountable scramble sets and positive topological entropy. (3) By the classical ergodic theory, we know that for a dynamical system with positive topological entropy, there exists an ergodic measure with which the system has positive measure entropy. Thus there exists a corresponding weakly almost periodic point, which is a generic point for the ergodic measure. The question is how to characterize such point?

混沌是近几十年来物理学和数学领域研究的一个热点，其发展十分迅速，在许多领域已经得到广泛的应用。本项目从回复点入手来研究混沌，研究的主要内容有:（1）测度中心是研究动力系统复杂性的重要工具，决定测度中心的回复点类型有弱几乎周期点和拟弱几乎周期点，它们有重要的应用。那么还有没有其他新的回复点类型可以决定测度中心？新的回复点类型有什么性质？和混沌有没有关系？（2）利用拓扑方法和遍历论方法，研究不同类型的回复点在拓扑动力系统的混沌中所起的作用， 主要是与初值敏感依赖性，不可数混乱集和正拓扑熵的关系。（3）由经典的遍历理论，对于正熵系统，存在相应的遍历测度，在该测度下系统有正的测度熵。那么一定存在一个弱几乎周期点是这个遍历测度的generic点，这种点有什么特征？如何刻画和区分这种点？

本课题的研究对象是动力系统中不同回复频率的回复点以及和混沌的关系。.我们得到的成果有：.（1）系统的研究了决定测度中心的回复点类型，包括弱几乎周期点，拟弱几乎周期点等，还引进了一类回复点我们称之为E-generic点（该类点的回复时间集具有正的上Banach密度）。指出满足强 specification 性质的系统的传递点集合由以上各个层次的回复点构成。.（2）在满足一定条件的动力系统中（比如扩张且具有强specification性质），去掉拟弱几乎周期点的E-generic点集仍可以保持系统的正拓扑熵。.（3）非极小的E-generic点的存在能够蕴含syndetically sensitivity，同时蕴含存在不可数Li-Yorke点对，说明系统有相当的复杂性。.（4）给出distal敏感集的概念，在该集合上系统是初值敏感的。给出distal敏感的符号子转移系统，它本质上是圆周上的无理旋转。这类系统的存在说明紧致系统仅有初值敏感性并不能意味着有很强的复杂性。