Lorenz-like系统族的等价性和混沌吸引子几何结构

研究Lorenz-like混沌系统族（包括广义Lorenz混沌系统、共轭Lorenz混沌系统、扩散Lorenz混沌系统等）的各个系统之间等价性，是这些系统赖以生存和发展的基石。对Shil'nikov定理的研究是混沌吸引子几何结构研究中的一项重要内容。本项目从分析Lorenz-like混沌吸引子的几何结构入手来研究系统族的等价性问题，进而探讨混沌的数学机理。分析系统的局部性质、各吸引子的相对位置和定性结构之间的差异，研究退化情形下，即平衡点具有零特征值或零实部特征值时三维和四维Shil'nikov同宿轨和异宿轨定理的推广，寻找系统具有同宿轨或异宿轨的充分条件甚至充要条件，进而获得系统存在混沌吸引子的代数判据，研究混沌吸引子的几何结构和不同类型吸引子的相互联系，寻求通往混沌和超混沌途径，获得混沌和超混沌吸引子复杂性构成机理，并有新的突破。

本项目围绕计划书中的研究内容和目标，在Lorenz-like系统族的等价性和混沌吸引子几何结构方面开展了研究，获得了一些有意义的研究成果。研究成果由22篇论文组成，其中SCI/EI期刊论文12篇，这些论文分为4组。第1组由4篇论文组成，这一组论文，主要提出了一些特殊的混沌系统，包括三维混沌系统、四维超混沌系统和分数阶混沌系统，分析了系统的分岔与混沌行为和混沌在保密通讯方面的应用研究。第2组由5篇论文组成，该组论文主要深入分析了Lorenz-like系统族中几类典型系统的分岔与混沌动行为，从不同侧面窥探系统生成吸引子的几何结构，探讨系统混沌的可能构成机理，解决了Lorenz-like混沌系统族中几类典型系统的吸引子几何位置、异/同宿轨的存在性、分岔和混沌等问题。第3组8篇论文，探讨了不同随机环境干扰下，典型Lorenz-like混沌系统的分岔与混沌；并延伸探讨抽象微分系统在不同环境下（比如随机环境、概周期环境和不定边界环境等）的全局复杂性态。第4组5篇论文，主要利用混沌理论的思想和方法开展了在实际问题中的应用研究。