磁流体力学中的数学问题

To realize controllable thermonuclear fusion in the laboratory, Tokamak has been designed to confine the motion of plasma under high temperature. The physical phenomenon of Tokamak is mathematically formulated as a free boundary problem for magnetohydrodynamics(MHD) system. MHD system is coupled by the equations of fluid flow and magnetic field. It is the basic nonlinear system to describe the motion of plasma. The magnetic fluid has better stabilizing effect than ordinary fluid due to the presence of magnetic field. Mathematically this stability mechanism is presented in the global well-posedness of the initial-boundary value problems to MHD system and stability of the stationary solutions, etc.. The free boundary problems for the system in fluid dynamics like Euler equations has been well studied, while the corresponding researches for MHD were just initiated recently. The main purpose of this project is to reveal the role of magnetic field played in the initial-boundary value problems and free boundary problems of MHD system, on the level of rigorous mathematical analysis, and to help better understanding the corresponding physical phenomena.

在可控热核聚变的托卡马克(Tokamak)装置中，高温下的等离子体需用磁约束来实现热核聚变。在数学上，上述问题转化为磁流体力学(MHD)方程组的一类自由边界问题。MHD方程组是流体力学方程组和磁场方程组的非线性耦合，是宏观描述等离子体运动的基本的非线性方程组。由于磁场的存在，磁流体相较于通常的流体具有更好的稳定性。在数学上，这种稳定机制体现在MHD方程组初边值的整体适定性及稳态解的稳定性等。流体力学方程组(如不可压Euler方程组)的自由边界问题已有全面而深入的研究，而不可压MHD方程组的相应研究则刚刚开始。本项目拟通过对MHD方程组初边值问题及自由边界问题(局部或整体)适定性的研究，在严格数学意义下揭示磁场在流体运动的稳定作用，并对相应物理现象有更好的认识。

磁流体力学方程组的初-边值问题特别是自由边值问题广泛地出现在诸如等离子天体物理、可控核聚变等研究领域。对其适定性进行严格的数学分析，是磁流体力学数学理论中的一个核心主题。该项目主要研究（磁）流体力学中出现的非线性方程组各种初-边值问题的适定性，得到了如下几个主要结果：.1. 不带磁阻一维可压缩MHD方程组初边值问题的整体适定性及其长时间行为；.2. 不带磁阻二维可压缩MHD方程组初边值问题的整体弱解存在性；.3. 理想MHD方程组带切向间断自由边界问题的局部适定性；.4. 三维可压缩MHD方程组的若干奇异极限问题。.另外在本项目执行期间还做了如下与该项目相关的工作：.1. 关于可压缩Navier-Stokes方程强解爆破准则和弱解正则性判别法的总结工作；.2. 非齐次不可压Navier-Stokes方程组初边值问题解的长时间行为； .3. 非齐次或可压缩Navier-Stokes方程组的薄区域及低马赫数极限问题。.这些问题的研究有助于从数学方面更严格、更深刻地理解（磁）流体力学中观察到的各种现象，特别是磁场在等离子流体运动中所起稳定性作用的数学原理。