实调和分析和流体力学方程组

本项目拟利用实调和分析中发展出来的空间和技术，如Hardy空间（及其对偶BMO空间）、Besov空间等以及Littlewood-Paley（频谱）分解、Strichartz估计等技术，来研究流体力学中出现的偏微分方程组。. 对经典的流体力学方程如不可压Euler和Navier-Stokes方程，利用调和分析技术的研究已经有很多深刻的结果，如在各种临界空间中的适定性以及三维情况下解的爆破判别准则等。本项目拟对某些复杂的流体模型进行研究。这种模型经常表现为Euler或Navier-Stokes方程（可压或不可压）与各种其他方程（抛物型或双曲型）的耦合。因而方程更加复杂，很多研究目前都只是在经典的能量积分的框架下进行。.我们希望利用调和分析发展出的各种精细的空间和工具，我们将对这些复杂的系统进行细致的分析和先验估计，以期得到更深刻的一些结果。

该项目主要利用基本的能量方法及调和分析技术，研究流体力学中与Navier-Stokes方程相关的几类模型初边值的整体适定性、稳定性及爆破问题，主要包括以下几方面内容：.1. 二维情形下的整体适定性：我们证明了一类Boussenesq方程，Kazhikhov-Smagulov模型及Brenner的带质量扩散可压缩Navier-Stokes方程等初边值问题在给定的任意大小初值下的整体适定性；.2. 三维情形下的爆破准则：给出了几类可压缩Navier-Stokes模型初边值问题局部强解的各种爆破准则，并以此证明了方程组的弱强唯一性。.3. 三维可压缩Navier-Stokes方程弱解的稳定性：利用早期研究弱强唯一性问题时提出的框架，特别是熵不等式，研究了可压缩Navier-Stokes方程弱解在几类情形下的稳定性问题。.4. 热方程的端点估计机器在Navier-Stokes方程中的应用：给出了热方程在Hardy空间中的一类混合估计，并以此给出了Lions的一个公开问题在二维情形下的正面回答。..这些问题的研究及解决，对流体力学中非线性方程有了更清楚的理解，对于解决流体力学中非线性方程最核心的本质问题提供了另一方面的借鉴。