组合和式的积分表示与反演关系的研究与应用

组合和式求和/变换与分类问题一直是组合分析学的核心问题。组合反演方法与WZ方法一样是研究超几何级数求和与变换的基本工具之一。本项目将主要研究申请人于2004年提出的(f,g)-反演在超几何级数求和与变换方面的应用。我们将在前一项目研究工作的基础上继续深入探讨(f,g)-反演并重点研究组合和式的积分表示法创始人G.P.Egorychev在其代表作以及最近几年发表的相关文章中提出的、与反演相关的有待研究的若干问题. 主要内容是：(f,g)-反演和R^q-型可逆矩阵的异同；非(f,g)、R^1-型逆矩阵在欧拉变换方面的作用;古典Leibniz公式,(f,g)-反演,Lagrange 反演与Riordan群、Gould的g-反演等相关问题.

本项目从两个主要方面，即Lagrange反演公式在组合和的积分表示与theta函数乘积的展开公式应用，得到了以下主要结果:.1.系统提出了研究q-级数理论的新方法，结果发表在J.Math.Anal.Appl.396 (2012) 844--854, 这种方法的意义在于：明确提出证明q-series求和与变换的t-系数法的详细过程，通过大量例证，证明了该方法的有效性；.2.建立了一个theta函数乘积公式，统一给出了包括Jacobi三重积恒等式,Watson五重积恒等式、以及一些知名数学研究者的结果.特别值得一提的是该展开公式也涵盖了B. C.Berndt的博士弟子Z.Cao在其论文所得结果，比较而言，我们的方法极为简洁；该文结果发表在J.Math.Anal.Appl.411(2014) 902-915；.3.推广了theta函数之积的Schroter公式到无穷形式，得到了一些新的模等式；该文已投Acta Mathematica；.4.利用申请人最新得到的展开公式推广了可用于证明Ramanujan同余分拆恒等式的Winquist等式；.5.利用(f,g)-反演，建立了三个从高阶超几何级数到低阶超几何级数的变换公式，推广了Roger--Fine恒等式以及新的求和公式;.6.给出多维Lagrage反演公式的代数证明以及基本应用..以上所得结果具有原创性和理论与应用价值.