q-导数与积分在组合中的应用

q-Series theory is an important research subject in modern mathematics, it has important applications in number theory, special function theory, combinatorial theory, quantum algebra theory, modular forms etc.. We will systematically study the properties of q-derivative and q-integral transform and give some applications of them. Some q-series transformation formulas and summation formulas with multiple variables can be derived by q-derivative and q-integral, which can bring many new multiple variables q-series identities and expansion formulas. Based on these identities, some new combinatorial identities and Rogers-Ramanujan type identity can be concluded. The project will also use q-derivative and q-integral to obtain the finite forms of q-series identities and transformation formulas which contain limited form of Rogers-Ramanujan type identities and combinatorial identities as its special cases. We will also systematically study some properties of classical polynomial, such as: generating functions and orthogonality properties. Some properties of Mock Theta function will also be studied by using q-derivative.

q-级数理论是现代数学的重要研究课题，它在数论、特殊函数论、组合论、量子代数理论、模形式理论等方面有着重要的应用。本项目计划系统地研究q-导数及积分变换的性质与理论，并给出它的一些应用。我们将用q-导数及积分来推导多变量的q-级数的变换公式和求和公式，从而导出新的多变量的q-级数恒等式和展开公式，在此基础上我们将给出一些新的组合恒等式以及Rogers-Ramanujan 类型恒等。本计划还将应用q-导数及积分变换，给出一种得出有限形式的q-级数恒等式及变换公式的方法，从而给出有限形式的Rogers-Ramanujan类型恒等及组合恒等式。我们还将系统的研究一些经典多项式的性质，如：生成函数以及正交性等性质。本项目还将应用q-导数来研究Mock Theta函数的一些性质。

本项目发展拓广了L. J. Rogers 最先提出的q-导数算子,建立了更一般的q-算子结构，并给出了系统的研究. 在研究中发现，用这一方法比用积分变换更容易得出一些有趣的恒等式. 虽然利用积分变换方法我们前期已经得到一些结果，但我们后期还是把主要精力放在了利用q-导数探讨相关问题上. 利用q-导数，我们推导了许多新的多变量的q-级数的变换公式和求和公式，在此基础上我们得出了一些新的组合恒等式；同样还可以利用这些新的公式来研究有限型 Rogers-Ramanujan 类型恒等以及Mock Theta 函数的一些性质. 本项目中，我们还建立并研究了两个一般的 q- 多项式, 并找到了这两个多项式与我们所建立的 q- 导数算子结构之间的联系，进而对它们的生成函数以及正交性等性质进行了系统研究.