t-系数法在特殊函数与模形式的应用

(Combinatorial identities)Hypergeometric series,basic hypergeometric series and theta-elliptic hypergeometric series are fundamental parts of special functions. Modular forms are essential generalizations of theta and elliptic functions.They are necessarily theoretical tools for the study of analytic number theory. This proposal is mainly concerned with potential applications of the so-called t-coefficient method very recently discovered by the applicant to Special functions and Modular forms. The main content is planned as follows: to find any possibly summation and transformation formulas of elliptic hypergeometric series via combinatorial inverse technique；to study series expansions for the product of arbitrary finite theta functions;to find general explicit expressions of Ramanujan's circulant summation for theta function;to track relationship between Abelian elliptic functions and Jacobian elliptic functions; ultimately to apply all obtained results to Combinatorial-Analytic Number Theory such as quadratic sum of positive integer representations and integer partitions and so forth.

（组合恒等式）超几何级数、基本超几何级数和theta-椭圆超几何级数是特殊函数理论重要的组成部分.模形式是theta函数与椭圆函数的本质推广.它们都是研究解析数论不可或缺的理论基础与工具.本项目将围绕作者近期提出的t-系数法来展开对特殊函数理论与模形式的研究.主要内容包括:利用组合反演方法建立theta-椭圆超几何级数的变换与求和公式;有限个theta 函数之积的傅里叶级数展开;Ramanujan关于theta函数的循环和式一般显式表达式的建立;研究Abelian椭圆函数与Jacobian椭圆函数理论与方法之间的相互关系;并探索相关结论在自然数平方和表示与整数分拆等组合与解析数论问题上的应用.

本项目主要研究t-系数法以及其在模形式(包括特殊函数特别是基本超几何级数)中的应用. 为此我们先后提出了Bailey算子法与参数算子法等有价值的思想方法. 主要内容是：1.对组合反演理论本身的完善和补充: 一是证明了徐利治教授提出的 (a,b)-反演是充分而非必要的, 同时也讨论了它与(f,g)-反演的区别与联系; 二是作为非线性反演的新研究成果, 还建立了一类广泛的、与Bell多项式相关联的非线性反演公式; 对每一种新的反演都给出了它们在基本超几何级数求和变换上的具体应用.2.建立(1-xy,y-x)-展开公式. 包括该展开公式的严格证明, 以及在基本超几何级数中的应用, 其中包括涉及Well-posied Bailey对的一个一般性对称变换, 其包括Askey-wilson多项式的生成函数.3.在归纳总结基本超几何级数理论中的Bailey对、 Bailey引理的现有方法的基础上, 首次提出了所谓的Bailey算子的概念及方法并且成功推导出基本超几何级数求和与变换公式.4.针对基本超几何级数的形式与内容, 提出了一种"视参数为变量"的新观点, 引入了参数算子的概念, 建立了一系列基本性质, 比较系统地建立了参数算子法的理论. 紧接着, 围绕两类具体的基本超几何级数, 给出了一些具体的参数算子并深入研究了由它们所能产生出的级数变换. 其中有很多结果都具有原创性.5.讨论了特殊函数理论中的一类特殊无穷级数--部分theta 函数. 围绕Andrews和Warnaar建立的一系列恒等式, 建立了所谓的部分theta函数的二元表示. 作为应用之一给出了这些恒等式的统一证明.