相对论流体力学Euler方程组的相关问题

Relativistic fluid dynamics has been tremendously used in the fields of astrophysics, plasma physics, nuclear physics and cosmology and so on, our subject mainly study some problems on the relativisitc Euler equations (hyperbolic equations). Specially speaking, our subject mainly focus on the existence and singularities formation in three dimensional fluids of smooth solutions, as well as the isentropic approximation and global existence of weak slolutions for full system in one space dimension. We will overcome the difficulties from the complexities of the relativistic Euler equations, popularize the theories of existence and singularuties formation of smooth solutions and the global existence of weak solutions, thus we can solve the above problems, and we wish to develop some new ideas, techniques and methods in the process of solving problems to further study this systems' structure and characteristics, and contribute our shares to develop the theory of this relativistic fluid dynamics.

相对论流体力学广泛用于天体物理、等离子物理、核物理、宇宙学等领域，本项目主要研究相对论流体力学Euler方程组(双曲型方程组)的相关问题。具体包括高维系统光滑解的存在性以及奇性形成问题,一维完整系统弱解的整体存在性和等熵逼近问题。我们将克服相对论Euler方程组的复杂性带来的困难,将经典的流体力学Euler方程组中局部光滑解的存在性和奇性分析以及整体弱解存在性理论进行推广,来解决上述问题。并希望在解决问题的过程中发展新的思想、技巧和方法去进一步研究这类方程的结构和特性，为推动相对论流体力学数学理论的发展做出一些贡献。

相对论流体力学广泛用于天体物理、等离子物理、核物理和宇宙学等领域。本项目旨在研究相对论流体力学中的数学问题，即相对论欧拉方程组（双曲方程）的适定性问题。具体包括：1. 高维系统光滑解的存在性及其奇性形成问题；2. 一维完整系统弱解的整体存在性和等熵逼近问题； 3.其他具有相对论效应的数学模型及其适定性问题。. 对于问题1中局部光滑解的存在性，我们主要利用拟线性对称双曲理论来证明，但是否含有真空导致了对称方法的不同。当初值不含有真空时，可以利用系统的严格凸熵使系统对称化，但是当初值含有真空时，用前者得到的对称系统的系数矩阵在真空处会发生退化，因此我们将采用广义黎曼不变量和正则化速度将系统对称化。这一结果已经以论文形式发表。对于问题1中解的奇性形成问题，我们主要讨论了具有球对称结构的相对论欧拉方程组正则解（正则解一定是光滑解，反之不然）的奇性形成。主要方法是构造合适的泛函，使得该泛函满足类似Ricatti型的微分不等式，继而可以证明正则解的奇性形成问题。值得说明的是，该方法还适用于带有排斥力的相对论欧拉-泊松方程。该结果也以论文形式发表。. 对于问题2，由于相对论欧拉方程的完整系统的状态方程不太清楚，并且找不到合适的坐标系来描述激波曲线和疏散波曲线的几何性质，所以问题仍在研究中。. 对于问题3，利用相应的物理背景，我们推导出了相对论欧拉-泊松方程。利用黎曼不变量使得方程解藕，结合Lax不变量的方法证明了在初始黎曼不变量关于空间变量的导数大于零的条件下整体光滑解的存在性。这一结果也以论文形式发表。另外一个具有相对论效应的数学物理模型是相对论辐射流体模型。对此模型，我们利用迭代法和不动点原理得到了系统局部经典解的存在性。该结果已经以论文形式在线发表。. 此外我们还研究了具有球对称结构的相对论欧拉方程组稳态解的存在性，具体包括经典稳态解和弱稳态解（跨音速解）的存在性。具体见发表的论文。