可压流Euler方程组的黎曼问题

Nonlinear hyperbolic conservation laws have considerably pratical and theorical significance. Many important physical systems, including aerodynamics, meteorology, water waves, plasma physics and combustion can be described by this type of equations. Both theory and numerical methods of nonlinear hyperbolic conservation laws has been an important aera of recent mathematical research. This project intends to study Riemann problems for compressible Euler equations and related models，specificly: two types of multi-dimensional Riemann problems for Chaplygin gas Euler equations, regular reflection and Guderley-Mach(GM) reflection in shock reflection phenomena and one-dimensional Riemann problems of Euler equations for reacting gases. Our primary objective is to construct the global piecewise smooth solutions of these problems, and use these solutions to explain some important physical phenomenon, i.e., nonexistence of strong regular reflection, the transition between regular reflection and irregular reflection, the internal mechanism of GM reflection, detonation and deflagration wave.

非线性双曲守恒律方程组具有广泛实际和理论意义。许多重要的物理系统，如空气动力学、气象学、水波、等离子物理和燃烧理论都可以用这类方程组来描述。非线性双曲型守恒律方程组的理论研究和数值方法已成为当代数学研究的一个重要领域。本项目拟研究可压流Euler方程组及相关模型的Riemann问题,具体如下：Chaplygin气体Euler方程组的两类高维Riemann问题、激波反射现象中的正规反射和Guderley-Mach(GM)反射以及反应流体Euler方程组的一维Riemann问题。我们最主要目的是找到这些问题的整体分片光滑解，并用这些解来解释一些重要的物理现象，如：强正规反射不存在性、正规反射向非正规反射的过渡、GM反射的内部机制、以及爆燃波和爆轰波等。

非线性双曲守恒律方程组具有广泛实际和理论意义。许多重要的物理系统，如空气动力学、气象学、水波、等离子物理和燃烧理论都可以用这类方程组来描述。非线性双曲型守恒律方程组的柯西问题是该领域的一个最基本的理论问题，其在一维情形已很完善，但在高维情形难度很大、进展缓慢。而黎曼问题是一类特殊的柯西问题。本项目研究了可压流Euler方程组及相关模型的几类特殊的一维和二维黎曼问题，主要结果如下。. 我们研究了具有“Bump”型点火函数的Majda-ZND燃烧模型的一维黎曼问题。我们得到了它的整体熵解的存在性、唯一性及解在反应速率趋向无穷大时的Chapman-Jouguet极限。这些解既有爆燃波解也有爆轰波解。. 我们研究了Chaplygin气体Euler方程组的几类特殊的二维黎曼问题，得到的整体分片光滑解的存在性。. 为了尝试解决激波反射现象中的von Neumann三波点悖论, 一类新的称为Guderley-Mach反射的结构最近在物理实验和数值模拟中观测到。在这类反射结构中存在一列三波点，并且在每个三波点上有一个中心波结构。我们研究了这些中心波流动结构的存在性。为了构造一个这样的中心波结构，我们考虑了二维拟定常Euler方程组的一类特殊的中心波问题。我们得到了直到声速边界的中心波流动结构的存在性。. 我们研究了一锲形区域内静止的van der Waals气体向真空扩散问题。在远离角点的地方气体可以通过两个对称的平面疏散波、平面jump-fan复合波或平面fan-jump-fan复合波扩散到真空。这时，为了求解上述气体向真空扩散问题，我们需要研究这些平面基本波的相互作用。为了得到这些平面基本波的相互作用区域内的流动，我们考虑了二维拟定常Euler方程组的三类标准和间断Goursat问题。通过特征的方法，我们得到了这几类Goursat问题的整体解的存在性。