基于希尔伯特空间算子理论的密码学

The conceptual foundation of quantum information science is to take the quantum state as 'information', which is an extension of the concept of information based on the basic laws of nature, and exhibits great power in both the fundamental sciences and new technologies. To understand the encryption of quantum information and to establish an integrated theory which covers both modern cryptology and quantum cryptology is an arduous task. A quantum state is expressed as a vector in Hilbert space. Thus, the encryption of quantum information must be based on some theory involving operators in Hilbert space, i.e., operator cryptology. This proposal is dedicated to develop operator cryptology based on our previous work on cryptology of quantum information. We plan to establish a theoretical framework of operator cryptology via investigating operator formulations of quantum public-key, secret-key and no-key cryptosystems, quantum zero-knowledge proof, and quantum fully homomorphic encryption, and to find the relation between the operator cryptology and the modern cryptology via confirming the general manner of degeneration from an operator theory of Hilbert space to a function theory defined on discrete algebraic structure. We shall reformulate the structure of cryptology from the aspect of operator theory, which will help establish a common foundation for quantum cryptography and modern cryptology, and possibly lead to the discovery of a new path to develop modern cryptology.

量子信息科学的概念基础是把量子态解释为“信息”，这是基于基本自然定律对“信息”概念的推广，在基础科学和新兴技术领域都显示出强大生命力。探索量子信息的密码学，建立起涵盖量子密码学和现代密码学的统一密码学理论，是密码学研究面临的一项基本任务。由于量子态是希尔伯特空间的向量，量子信息密码学的理论形式必定是希尔伯特空间的某种算子理论，可称之为算子密码学。本项目以我们在量子信息密码学方面的长期探索为基础，致力于发展算子密码学的理论形式，拟通过构造量子公钥私钥和无密钥密码体制、量子零知识证明协议和量子全同态加密算法等的算子理论形式，建立算子密码学的理论框架，并寻找从希尔伯特空间算子理论向离散代数结构上的函数理论退化的一般方法，建立起算子密码学与现代密码学的对应关系。从算子理论的角度统一表述密码学，将有助于量子密码学和经典密码学共同理论基础的建立，有助于密码学家探索现代密码学新的发展之路。

本项目以我们在量子信息密码学方面的长期探索为基础，致力于发展量子计算环境下的密码学理论。本项目主要从六个方面进行研究：量子对称密钥和无密钥加密协议的算子理论表述、量子公钥加密算法及其算子理论表述、量子零知识证明等交互式协议的算子理论表述、量子全同态加密协议的算子理论表述、量子密码协议、量子计算环境下经典密码的安全性。. 我们基于算子理论给出量子分组加密方案设计框架，建立经典和量子分组加密的统一理论框架；构造量子无密钥协议，从而解决经典无密钥协议不能抵抗中间人攻击、只具有计算安全性的问题，基于算子理论给出量子无密钥协议的安全定义，构造其安全证明的理论框架；通过构造具体的量子公钥算法并证明其安全性，提炼量子公钥算法对应算子的本质特征，从而构建量子公钥加密算法的算子理论表述；从算子理论的角度研究量子零知识证明协议及盲量子计算协议的形式化理论模型；将全同态加密算法扩展到量子情形，设计量子加密操作和密态数据上的量子计算操作使其满足可交换性，从而构造量子全同态加密算法；构造安全的量子比特承诺协议，改进量子密钥分配协议或基于量子密钥分配协议设计新的密钥分配方案，为构建交互式量子协议的形式化理论模型提供基础；从物理定律出发，分析离子阱等主要的量子计算机物理实现方案的物理局限性，从而得出量子计算机计算能力的理论极限；将Simon算法、Bernstein-Vazirani算法等量子算法与已有经典分析工具相结合，提出针对分组密码的量子攻击算法，为评估量子计算环境下密码体制的安全性提供依据。这些成果为最终构建算子密码学的理论框架提供了重要基础。