基于算子广义逆理论的奇异线性算子方程迭代求解研究

The theory of generalized inverses of operator has wide application background in the fields of Differential Equations, Nonlinear Equations, Statistical and Stochastic Processes, Especially, the high performance approximate solutions of the singular linear operator equations and the solutions of the singular linear operator equations in the infinite dimension space can be represented by the generalized inverses of the operator. In order to solve the singular linear operator equations effectively, the project intends to study the following contents. First, research the reverse order laws of the generalized inverses of operator product and the problems of property characteristics and representation for the {2}-inverse with specified range and zero space of bounded linear operator in the infinite dimension space. Second, by these new theories, we will design some new fast and effective iterative algorithm to deal with the high performance approximate solutions of the singular linear operator equation Tx = b in infinite dimensional space. Third, on basis of these iterative algorithm, we will structure the utility program and the software model, develop practical calculation software applied to Image Processing, Differential Equations and other disciplines. The project have very important meaning to lucubrate the generalized inverse of operator and have inspiration and reference for the research of large-scale scientific computing.

算子广义逆理论在微分方程、非线性方程、统计及随机过程等领域有着广泛的应用背景，特别是一般奇异线性算子方程以及无限维空间中奇异线性算子方程的高性能近似解都可以用算子的广义逆来表示。为了有效地求解奇异线性算子方程，本项目拟研究如下内容。一、探索研究算子乘积广义逆的反序律理论和无限维空间中有界线性算子具有指定值域和零空间的{2}-逆的性质、特征及其表示问题。二、利用得到的新理论设计出一整套快速有效的迭代算法，用以求解无限维空间中奇异线性算子方程Tx=b的各种高性能近似解。三、以项目提出的迭代算法为基础产生应用程序、建立软件模型，开发实用的计算软件应用于图形图像处理、微分方程数值解等学科当中。项目的完成对深入和拓展算子广义逆的研究具有重要意义，对研究大规模科学计算具有启发和借鉴作用。

无限维空间中的奇异线性算子方程Tx=b的高性能近似求解问题在实际当中有着广泛的应用背景。如何设计出新的、快速有效的迭代算法来求解无限维空间中奇异线性算子方程的高性能近似解，是国内外学者关心的热点问题。在本项目中我们研究了基于算子广义逆理论的奇异线性算子方程迭代求解，取得了以下四个方面的研究进展。第一，利用无限维空间中有界线性算子的广义逆理论、投影算子广义逆的逼近理论和线性算子的矩阵化理论，给出了无限维空间中任意多个有界奇异线性算子乘积的{1}-逆，{1, 3}-逆，M-P逆等广义逆它们的反序律成立的充分必要条件。第二，利用投影算子的性质和投影算子的逼近理论，研究了Banach 空间和Hilbert 空间中有界奇异线性算子具有指定值域和零空间的{2}-逆的性质、特征及其表示问题。第三，利用问题一中所得的算子乘积广义逆的反序律，设计出了一种新的迭代算法来求解无限维空间中奇异线性算子方程Tx=b其中的极小范数和最小二乘解。第四，以项目为依托，项目组成员还讨论了算子广义逆理论在图形图像处理、微分方程数值解、反特征值问题研究和卡特生乘积图的联通性研究等领域中的应用。