函数空间内某些逼近问题的研究

In certain function spaces we study the concern problems in the approximation theory such as best approximation, operator approximation, interpolation approximation, rational approximation etc., obtain the characteristic theorem, direct and inverse theorems as well as the Jackson-type estimate; besides, in certain function spaces we study the width theory and extreme value problem which is a significant research subject in the approximation theory of functions, give respectively the asymptotic estimates and precise estimates of various widths of some important function classes, construct the corresponding optimal subspaces and establish the corresponding duality theorems, use ideas and methods of functional analysis to reveal the relationship between extreme value problem in kinds of different formulations and width theory; what’s more, discuss neural networks on these bases. Many problems of approximate solution in Mathematics Physics are background of the approximation theory, on the other hand, research results of the approximation theory provide theoretical basis for the approximate solution and the selection of “the best” solution. Therefore, this project has not only academic significance but also practical background and application prospects.

在一些函数空间内研究有关的最佳逼近、算子逼近、插值逼近、有理逼近等逼近论的问题，给出相应的特征刻画、正定理、逆定理、Jackson型估计等结果；同时还要在一些函数空间内研究宽度理论与极值问题这一函数逼近理论中的重要课题，对一些重要函数类的各种宽度进行渐近估计和精确估计，找出相应的极子空间并建立相应的对偶定理，用泛函分析的思想和方法揭示不同提法的极值问题与宽度理论之间的联系。在此基础上还要研究一些神经网络、压缩感知等问题。数学物理中的好多近似求解问题是函数逼近理论的直接背景，而函数逼近理论研究的理论成果可以为数学物理问题的近似求解以及选择“最优的”求解方案提供理论分析依据，函数空间又是从各类实际问题中提出的数学模型。所以，这一项目是既有学术意义又有实际背景和应用前景的研究课题。

本项目的研究工作属于基础数学中函数逼近论的研究范畴，而连续函数空间和Lp空间中有关函数逼近论的研究历史悠久，成果丰硕。基于在一致范数和Lp范数意义下研究函数逼近问题的思想和方法，本项目的研究工作延续了本人主持的上一个国家自然科学基金项目的研究工作，利用泛函分析和拓扑学的思想方法，在对非线性问题具有重要而广泛应用的一个函数空间（Orlicz空间）中继续研究有关的函数逼近问题，取得了一批系列成果，其中已经公开发表的论文有30 多篇，还有10余篇论文已经投稿，有的已接受。这批系列成果主要分为分析学中某些重要函数类在Orlicz空间内的宽度估计问题、一些重要的线性算子、有理函数、插值算子和插值多项式在Orlicz空间内的逼近问题等方面，有些结论（数据）改进和拓展了前人的结果。除此之外，还附带着研究了拓扑学中的一些问题。从交叉学科发展的情况来看，在某些特殊的函数空间内研究相关的函数逼近问题，正成为应用数学、计算数学和基础数学的一个很好的交叉点。而在Orlicz空间这一对非线性问题具有重要应用的函数空间中研究逼近问题目前较少有人涉足，所以本项目的研究工作具有奠基性和开拓性。从本项目的研究内容和所得结果来看，研究工作拓展了函数逼近论的理论和内容，为在不同的函数空间内研究函数逼近问题以及研究宽度估计问题奠定了理论基础和基本方法，同时也在一些具体的函数空间内函数逼近理论的进一步发展做出了积极的贡献，所得到的结果和采取的研究方法为后来者在这类函数空间内研究函数逼近问题奠定了方法基础。由于本项目的研究工作和数学中的另外一些分支（如控制论、最优化理论等）关系密切，因此本项目的研究工作具有广泛而潜在的应用价值。