基于单调测度的可测与可积函数空间理论中的若干问题

Measure theory is considered to be one of the greatest theoretical mathematics. Non-additive measure is a classical measure extension and a new research direction in the field of mathematics. Non-additive measure in recent years, much scholars are concerned, it is of both theoretical significance and practical value of research topics. The project will use some of the nature of.non-additive measure such as autocontinuity, null-additive,double-null additivity and double-null asymptotic additivihe basic topological properties of the monotone non-additive measure space of measurable real-valued function.These basic topological properties include separability, completeness, conditions of existence of non-zero continuous linear functional and the subspace,topology of Sugeno integrable function space. In addition, there will be discussion of series of topological properties of space of monotone non-additive measures.Such as conjugate space, weak topology, weak convergence and so on.

测度论可以说是数学中最重要的理论之一。非可加测度是经典测度的拓广，是数学领域中一个新的研究方向，是既有理论意义又有实际价值的研究课题。因此，近一些年来倍受学者们关注。本项目将利用非可加测度的自连续性、零可加性、双零可加性以及双零渐近可加性等性质讨论关于单调非可加测度的可测实值函数空间的基本拓扑性质，如：可分性、完备性，存在非零线性连续泛函的条件，和它的子集，Sugeno 可积函数空间等的拓扑结构，以及关于模糊测度的可测实值函数空间的相应问题。除此之外，还将讨论单调非可加测度所构成空间的一系列拓扑性质，如：共轭空间、弱拓扑、弱收敛等性质。

测度论是数学中最重要的理论之一，非可加测度是经典测度的拓广，与经典测度论相比更具广泛性与生命力。是数学领域中一个新的研究方向，是既有理论意义又有实际价值的研究课题。因此，近一些年来倍受学者们关注，但国内外的研究工作也刚刚起步，还有大量基础性研究工作有待讨论。本项目利用非可加测度的自连续性、零可加性、双零可加性以及双零渐近可加性等性质讨论了关于单调非可加测度的可测实值函数空间的基本拓扑性质，得到了此空间满足完备性、可分性、局部有界性、局部凸性的充分条件，及空间的伪度量化且收敛等价于依单调不可加测度收敛。除此之外还证明了双零渐近可加性是单调不可加测度保证测度收敛关于代数运算和格运算的可继承性的充分必要条件；并尝试讨论了在单调不可加测度的测度收敛意义下可测函数列的极限唯一性。并在此基础上研讨了关于单调非可加测度的可测实值函数空间，在测度分别为无原子与伪原子、纯原子或伪原子时的非平凡的对偶空间，以及当测度为更特殊的模糊测度等情况。更进一步的，项目研讨了关于单调非可加测度的可测实值函数空间的一些子集构成的空间，得到了Sugeno可积函数空间，有界可测函数空间的一系列拓扑性质。可以说本项目涉及的是一个崭新的研究方向。项目中所得到的结果有助于我们进一步建立模糊分析学与泛函分析这两个分支学科之间的联系，丰富非可加测度的理论研究。.