全纯函数空间与算子理论的若干问题研究

Theory of the holomorphic （analytic） function spaces are closely related to many areas of mathematics. It plays very important roles in harmonic analysis, partial differential equations and operator theory. The project focuses on some important holomorphic function spaces such that Hardy spaces、 Dirichlet spaces、Bergman spaces and Morrey spaces. We study the characteristic problems of cyclic elements on several holomorphic function spaces, the characteristic of inner functions and outer functions in Bergman spaces, Korenblum’s maximum principle problems in Bergman spaces and Corona problems on those spaces over finite type convex domains. Also, we will characterize the boundedness and compactness of some operators on some new function spaces, and calculate the norm and essential norm of those operators.

全纯（解析）函数空间理论与许多学科有着密切的联系, 在现代数学中起着非常重要的作用，如在调和分析、偏微分方程与算子理论领域。 本项目将重点研究几类重要的复函数空间，包括Hardy空间、Dirichlet空间、Bergman空间、 Morrey空间等一类全纯函数空间性质，主要关注在多变量下的复函数空间的循环元问题、Bergman空间的内函数与外函数的特征, Bergman空间的Korenblum最大模原理和在有限型凸域上几类函数空间的Corona型分解问题。 同时也给出多种算子在几类新型复函数空间上的有界性、紧性的刻划及其范数和本性范数的大小估计。

本项目利用多变量复分析，单变量复分析，结合调和分析与泛函分析交叉的方法以及Bergman型度量、控制函数、次调和性质、精准示性函数等一系列工具，研究了几类算子在几类复函数空间上的有界性、紧性的刻划问题、在加权Bergman空间上的几类函数的控制关系、 在单位圆上的解析函数的面积分的增长性问题、研究了调和映照形式的Forelli型定理、研究了实椭球面上Kohn-Laplace算子第一特征值的问题等。在Mathematische Zeitschrift，Proceedings of the American Mathematical Society，Journal of Mathematical Analysis and Applications，Journal of Function Spaces， Acta Mathematica Scientia. Series B. 中国科学等国外期刊及中国科学等国内期刊发表学术论文14篇； 从事学术交流10多人次，并在会上5次交流研究成果；培养博士、硕士研究生9人（毕业和在读）。以上详情见正文。总之，通过本项目的研究，一方面为复分析许多分支及算子理论提供了理论依据和基础性结论，另一方面由于研究和应用的广泛性而携同一些相关学科取得了共同发展，同时为人才培养起到了重要作用。