四维闵氏时空中波方程能量解的最优整体时空估计研究

The qualitative and quantitative study on the long-time dynamics of solutions to nonlinear wave equations have always been an extremely active research area. A cornerstone for the development of this quantitative theory on nonlinear wave equations is the knowledge of optimal Strichartz estimates, which is referred as Foschi’s conjecture in the worldwide academic community. The Foschi conjecture plays a crucial role in the exhibition of the quantitative relation between the linear and nonlinear equations.There are a number of results concerning this problem available, including in particular a complete settlement on the Foschi conjecture for solutions of linear wave equations with energy data in five-dimensional space. However, no satisfactory result has appeared so far concerning the case of three-dimensional space which is of most interest in physics. Based on a previous work joint with a collaborator of the applicant, where we found a new spacetime estimate for energy data radial solution, we shall use in this programme the multilinear Fourier analysis method to study this toy model to explore novel ideas and implements, focusing on the approach to the classical Foschi conjecture for three-dimensional radial solutions with energy data from a new perspective. By doing so, we shall obtain the optimal constant and characterize maximizers in the radial setting not only for the toy model but also for the standard Strichartz estimate, using it as cornerstone for the quantitative study of the nonlinear wave equations in the radial case. Furthermore, our strategy will provide a different way of attacking Foschi’s conjecture.

非线性波动方程解的长时间动力学行为的定性与定量研究是目前国际上的热点问题。被国际学界称为Foschi猜想的最优Strichartz估计是上述非线性问题定量理论发展的基石，在揭示非线性方程与线性方程解的定量关系中起决定作用。目前国际上对Foschi猜想的研究已取得一定的成果，其中建立了空间变量是五维的能量初值问题的完整理论。然而对物理意义最强的、空间三维的能量初值问题，目前还未取得有意义的结果。在申请人及其合作者前期工作中建立的一个新型时空估计的基础上，本项目围绕三维径向对称的能量初值的Foschi猜想，采用多线性Fourier分析方法，通过研究新型时空估计这一子模型，探索新的数学思路开展研究，达到解决径向情形Foschi猜想的目的，获得最优常数和极值元的数学刻画并应用到非线性波方程的定量研究中，进而为Foschi猜想的研究提供与以往工作不同的新视角。

非线性色散方程解的长时间动力学行为的定性与定量研究是目前国际上的热点研究问题之一，如解的散射理论、爆破解的刻画、孤立子分解定理等。该领域的迅速发展派生出与其相关的诸多调和分析工具，在这一理论的发展过程中起着重要作用并且其中很多问题仍是公开的。本项目围绕能量临界非线性波方程最优时空估计为主题展开与这一主题相关的非线性色散方程和调和分析问题的研究，获得了以下重要成果：首先，我们建立了外区域上满足第一边界条件的具有能量超临界增长的聚焦型非线性波方程解的长时间动力学分类定理，发现并分类了一族可数个孤立子解并证明非线性波方程的整体解总是散射到某一个孤立子；其次，获得了最优时空估计的极值元存在性并得到了最优控制常数的一个有效估计；第三，解决了双线性限制性估计的端点情况从而回答了 Klainerman-Machedon 双线性估计猜想在抛物面上的端点情形，这一问题最早由Wolff率先在锥面上取得最优结果，Tao (陶哲轩)解决了端点情况，而对于抛物面的情况一直是公开问题，我们率先提出了使用降维法，把抛物面视为高维锥面的子流形从而可以基于处理锥面上端点双线性估计的尺度归纳方法获得最优控制常数的一致估计，最后通过取极限回归到抛物面上的结果。进一步地，我们将该方法应用于波方程的 null form（零形式） 估计并取得了对现有理论的改进。零形式在流体力学、几何波方程的研究中是一个常见的基本结构，可以预期对零形式估计现有理论的一些改进可以应用于该类方程的研究。此外，项目执行期间，我们还获得了关于 Fourier 积分算子局部光滑性的改进，共形不变非线性波方程在临界正则性空间中的整体存在性和散射理论。