非均匀时空环境中抛物方程的行波解

在自然科学和工程科学的一些领域，行波这种特殊形式的界面运动频繁出现，并往往体现了各种非线性现象的本质。行波的运动大多会受时空环境的影响而变得复杂多样，对于空间非均匀的环境或时间非均匀的环境，最近20几年来数学上已有了很多研究，了解到不少非均匀性对于行波的影响本质。时间和空间同时都是非均匀的环境在物理上更普遍，有更丰富的现象，在数学上也有更深刻的内涵和本质的难度，本课题拟研究这样的时空环境对行波的影响。具体来讲，我们选取具有概周期介质分布的n维全空间和柱状领域这两个典型的空间领域，考虑含时间变量的反应扩散方程及其界面运动方程（平均曲率流方程），拟给出概周期行波解的精确定义，研究其存在性、唯一性和稳定性，更重要的是考察行波解的速度、形状对于时空非均匀性的依赖关系。

在自然科学和工程科学的一些领域，行波这种特殊形式的界面运动往往体现了各种非线性现象的本质。行波的运动大多会受时空环境的影响而变得复杂多样，本课题就致力于研究时间/空间的非均匀性对抛物方程行波解的影响。首先我们研究了具有锯齿型边界的柱状领域中满足Neumann边界条件的平均曲率流方程，以及具有平直边界的柱状领域中满足时间/空间周期/概周期边界条件的平均曲率流方程。我们给出了时间/空间周期/概周期/递归行波解的概念；得到了它的存在性、唯一性和稳定性；证明了其平均速度的存在性；并在均匀化极限问题中给出了行波平均速度的精确估计，得到了平均速度的均匀化极限仅依赖于边界的最大开口角度或者边界条件的上确界这样令人惊异的结果。其次我们研究了具有概周期介质分布的空间中非平面型行波解，得到了这类行波解的存在唯一性、速度估计等结果。此外我们还提出并研究了球面上测地曲率流方程的旋转波等一些相关的其他问题。这些结果从不同的侧面揭示了空间、时间等非均匀性对行波等界面运动的本质影响，其中“递归行波解”、“球面阴阳鱼”螺旋波等等都是首次提出的新概念。通过几个具体问题的研究，我们建立了行波速度、形状和时空环境的非均匀性之间的联系，揭示了非均匀因素影响界面运动的机制，找出了一些共性规律。