非交换连续鞅不等式及其应用

The theory of noncommutative martingales has been rapidly developing after Pisier-Xu's seminal paper. Nowadays manay martingale inequalities have been successfully transferred to the noncommutative setting. There is no doubt that the theory of noncommutative martingales is becoming a new international hot research topic. However, as so far, most works in this field are based on discrete filtration. In 2014, Junge and Perrin firstly considered the noncommutative continuous martingale Hardy spaces. The study of noncommutative continuous martingales is still at the starting stage. This project will pay close attention to the deep and systemic study of noncommutative continuous martingale inequalities and their applications. Our main concern is to establish various noncommutative continuous martingale inequalities in different frames, like Burkholder-Gundy inequalities, Burkholder inequalities, Doob inequalities and so on. Compare to the discrete-parameter martingales, the theory of continuous martingale spaces is usually more complicated. We should not only overcome the difficulties caused by "noncommutativity" , but also need some techniques that we never used in the discrete case, such as ultra-product of spaces and operators, and Hilbert W* modules. In vertue of the fact that noncommutative continuous martingale theory play an important role in the foundation of noncommutative stochastic analysis theoretical system, we believe that the study of noncommutative continuous martingale theory will become a development tendency of noncommutative probabilities.

自Pisier-Xu的奠基性工作发表以来，非交换鞅论得到迅速发展，成为国际上新的研究热点，许多经典鞅不等式被成功推广至非交换。但到目前为止，非交换鞅论的研究几乎都是基于离散域。2014年，Junge和Perrin首次考虑了连续时间鞅的Hardy空间，所以关于非交换连续时间鞅的研究尚处于起步阶段。本项目将对非交换连续型鞅不等式及其在随机积分中的应用作系统、深入的研究，主要内容包括建立不同框架下的各种非交换连续鞅不等式，如Burkholder-Gundy不等式，Burkholder不等式，Doob不等式等。与离散鞅相比，连续时间流上的鞅空间理论更复杂，不仅要克服“非交换性”带来的困难，更需要一些离散情形不曾使用的新工具和新技巧，如空间和算子的超积，Hilbert W*模等。因为非交换连续时间鞅更有利于非交换随机分析理论体系的建立，可以预见未来非交换连续鞅是非交换概率的一个重要发展趋势。

近年来，受量子信息和量子物理的驱动，非交换分析逐步发展成为现代数学的主要研究领域之一，非交换鞅论作为其重要分支也取得了长足进步。本项目旨在通过研究非交换连续型鞅不等式及与其相关的一些问题，进一步完善非交换鞅理论，促进非交换分析的发展。除了完成项目既定目标以外，项目组还聚焦于非交换分析中的一些其他前沿问题的研究中，并取得了一系列重要成果。在该项目的资助下，项目主持人共完成SCI论文11篇（其中9篇已发表，2篇审稿中），主要成果可归纳为如下五个方面：.1、非交换微分从属鞅的研究：找到了非交换微分从属鞅的恰当定义，证明了非交换鞅及其微分从属鞅之间的弱型、强型估计，为非交换微分从属理论搭建了一个合适的框架，系列成果发表于《Adv.Math.》、《Comm.Math.Phys.》和《Ann.Probab.》。.2、非交换的Davis分解定理及应用：构造性地证明了Davis分解定理，得到了经典情形都未曾有过的新结果；这一构造性思想被学者们用来解决非交换鞅论中的一个重要公开问题，相关成果发表于《J.Lond.Math.Soc.》和《Math.Z.》。.3、非交换连续鞅不等式的研究：完成了项目既定目标，得到了非交换连续型Burkholder-Gundy不等式的最佳常数；建立了连续型非交换微分从属鞅的相关估计，并运用其得到了群von Neumann代数上的二阶Riesz变换的最佳有界性。以上述研究为基础，形成论文2篇，正处于审稿阶段。.4、Karamata型鞅空间的研究：首次定义了与慢变函数相联系的（弱）鞅Hardy-Olircz-Karamata空间，并在其中讨论了原子分解，同时以原子分解为工具得到了许多新的鞅不等式，系列结果发表于《Math.Nachr.》和《J.Math.Anal.Appl.》。.5、考虑了变指标Hardy-Lorentz空间中的Riesz变换刻画，建立了positive operator端点有界的等价刻画，相关结果分别发表于《Rev.Mat.Complut.》和《Arch.Math.》。