非交换调和分析与非交换鞅中的Hardy型空间研究

Hardy型空间是现代分析数学中的一个重要研究对象，在调和分析和鞅论中有重要的作用，如H1-BMO对偶性和各类鞅不等式。这方面的许多结果在最近二十多年里被推广到非交换情形。该项目继续开展这方面的研究工作。我们拟研究：（1）非交换鞅的Burkholder不等式和Doob不等式的矩量情形；（2）非交换Hardy空间上的算子理论，如Toeplitz算子、Hankel算子和复合算子等；（3）算子值Orlicz-Hardy空间的刻画问题，主要是它们的面积刻画和Littlewood-Paley理论等问题；（4）量子环面上的调和分析，主要是量子环面上Fourier级数的各种加权收敛性和Fourier乘子的完全有界性刻画等问题。该项目的另一个目的是应用非交换分析理论的结果和方法研究量子信息的相关问题。

非交换调和分析与非交换鞅论属于非交换分析数学的范畴，它们源于量子力学的数学基础研究。现代非交换调和分析是由 Xu (许全华) 与 Junge 和 Le Merdy 在2006年开始系统研究的，他们发展了非交换 Littlewood-Paley-Stein 理论，特别是研究了完全有界的 H\infty 函数演算理论及其与量子 Markov 半群的联系。非交换鞅论的研究虽然早在1970年代就有一些研究但一直停滞不前，直到 1997 年 Pisier 和 Xu (许全华) 取得重大的突破。他们发现，非交换 Hardy 鞅空间的实变理论必须由列均方函数与行均方函数两部分的有机结合构成。本项目在这些工作基础上研究了量子环面上的调和分析、非交换鞅相应于凸函数的基本不等式、Bergman 空间的实变理论等，获得了如下主要结果：1）证明了量子环面上 Fejer 平均、方形和圆形 Poisson 平均以及 Bocher-Riesz 平均的极大不等式；证明了量子环面上的 Lp 完全有界乘子等同于经典环面上的 Lp 完全有界乘子；证明了量子环面上相应于圆形 Poisson 半群的 Hardy 空间和 BMO 空间理论仍然成立，这包括 H1-BMO 对偶性定理和内插定理。2）证明了相应于凸函数的非交换 Doob 不等式、非交换 Dunford-Schwartz 极大遍历不等式以及非交换 Stein 极大遍历不等式。3）给出了复球上 Bergamn 空间具有紧支撑集的原子分解的构造性证明，我们的方法对于 p<1 也成立，因此完整地给出了复球上 Bergman 空间对所有 p<=1 的实变型原子分解。发表论文8篇，接受1篇；指导博士研究生2名和硕士生1名毕业；多次参加泛函分析与数学物理方面的会议并作邀请报告。